Bernoulli, Johann I an Maupertuis, Pierre Louis Moreau de (1732.03.04)

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Autor	Bernoulli, Johann I, 1667-1748
Empfänger	Maupertuis, Pierre Louis Moreau de, 1698-1759
Ort	Basel
Datum	1732.03.04
Briefwechsel	Bernoulli, Johann I (1667-1748)
Signatur	Basel UB, Handschriften. SIGN: L Ia 662, Nr.18
Fussnote	Die Briefkopie findet sich am Ende der Abschrift (3,5 S.) einer Beilage mit dem Titel "Ballistique Analytique". Diese Abhandlung scheint von Maupertuis zu stammen und enthält Zusätze von Joh. I B. (Brief von Maupertuis an Joh. I B. vom 13.4.1732). Am Briefkopf (S. 4 Mitte) eigenhändig "ma lettre à Mr. de Maupertuis".

Ballistique Analytique [Figur folgt]

I. Soit la vitesse de la Bombe egale à celle qu'elle auroit acquise en tombant de la hauteur $CA$, c'est à dire $={\sqrt {a}}$, $AQ=t$, $QM=z$; La Bombe sortant dans la direction $AG$, l'on aura $t:2z::{\sqrt {a}}:{\sqrt {z}}$ ou $tt=4az$.

II. Pour rapporter cette parabole à la ligne horisontale $AH$ qui fait avec $AG$ un angle donné dont le rayon etant $=1$, la tang. $=n$; soit $AP=x$, $PM=y$, $PQ=nx$; L'on a $QM=PQ-PM$ ($z=nx-y$) et $AQ^{2}=AP^{2}+PQ^{2}$ ($tt=xx+nnxx$). Chassant $z$ et $t$ de la premiere équation, l'on trouve $(nn+1)xx=4nax-4ay$.

III. Pour frapper le point donné $E$ avec une charge de poudre donnée, soit $AD=b$, $ED=c$, il faut que lorsque $x$ devient $b$, $y$ devienne $c$; l'on a donc $(nn+1)bb=4nab-4ac$. D'où l'on tire pour la direction du mortier $n={\frac {2a}{b}}\pm {\frac {1}{b}}{\sqrt {4aa-4ac-bb}}$ . D'où l'on voit que pour frapper $E$ avec une charge donnée il y a deux positions de mortier.

Coroll. 1. Afin que $n$ soit possible il faut que $4aa=$ ou $>4ac+bb$.

Coroll. 2. Lorsque $E$ est sur l'horizontale, l'on a $n={\frac {2a}{b}}\pm {\frac {1}{b}}{\sqrt {4aa-bb}}$.

Coroll. 3. Et lorsque $E$ est au dessous, l'on a $n={\frac {2a}{b}}\pm {\frac {1}{b}}{\sqrt {4aa+4ac-bb}}$.

Coroll. 4. Lorsque $4aa=4ac+bb$, on aura $n={\frac {2a}{b}}\pm 0$, c. à. d. que les deux valeurs de $n$ deviennent égales, d'où il suit que dans ce cas $AE$ est le plus long jet pour la situation du plan $AE$ incliné à l'horizont $AB$ de l'angle $EAB$. Si donc cet angle $EAB$ est donné et qu'il faille trouver le plus long jet $AE$, on s'y prendra de cette maniere: soit $AP.PR$ ou $AD.DE::1.m$, on aura $1.m::b.c$, donc $c=mb$ et partant $4aa=(4ac+bb)=4mab+bb$, ce qui donne $b=-2ma+2a{\sqrt {mm+1}}$; par consequent $AE$ ($=b{\sqrt {mm+1}}$)$=-2ma{\sqrt {mm+1}}+2mma+2a$ pour la direction $n$.

Coroll. 5. Pour le plus long jet oblique, l'angle de l'inclinaison $EAB$ etant donné, et $n={\frac {2a}{b}}$, on aura $n={\frac {1}{-m+{\sqrt {mm+1}}}}=m+{\sqrt {mm+1}}$. Ainsi $AP$ etant $=1$ et $PR=m$, on voit que $QR=QP-PR={\sqrt {mm+1}}=AR$, donc l'angle $QAR=AQR=CAQ$. D'où l'on voit que la direction qui partage $CAE$ en deux egalement donne le plus long jet possible sur un plan incliné donné $AE$ donc si ce plan est horizontal la direction fait avec l'horizont un angle demi droit. Ainsi la prop. V n'est qu'un cas particulier de ce corollaire.

Confer. L'analyse des infin. pet. p. 133, paragr. dernier. Là on se sert du calcul differentiel, mais ici il ne faut que de l'algebre pour determiner le plus long jet sur un plan donné de position.

Coroll. 6. Pour trouver la courbe que passe par les points $E$ de touts les plus longs jets, en nommant les coordonnées (qui etoient $b$ et $c$ pour la parabole particuliere) $AD=x$, $DE=y$. On a par le coroll. 4 $mx=y$ donc $m={\frac {y}{x}}$, et $b$ ou presentement $x=-2ma+2a{\sqrt {mm+1}}=$ (en mettant pour $m$ sa valeur ${\frac {y}{x}}$) ${\frac {-2ay}{x}}+2a{\sqrt {{\frac {yy}{xx}}+1}}$ ce qui donne $xx=-2ay+2a{\sqrt {yy+xx}}$ d'où on aura pour la reduction cette equation $xx=4aa-4ay$. Laquelle fait voir que la courbe cherchée est encore une parabole dont le sommet est en $C$, l'axe $CA$, le parametre $=4a=4CA$. Donc le point $A$ est le foyer de cette parabole. Donc aussi par la nature generale des courbes semblables qui se touchent, chaque plus long jet $AE$ passe par le foyer de la parabole particuliere $AMEB$ à laquelle appartient $AE$. Il est clair encore que la parabole des plus longs jets touche toutes les paraboles particulieres, parcequ'elle est faitte par les intersections de toutes les paraboles particulieres infiniment proches les unes des autres. Tout cela est conforme à ce qu'on demontre dans l'Analyse des infin. petits.

IV. Pour frapper le point donné $E$ avec une direction donnée l'on a $a={\frac {nn+1}{4nb-4c}}bb$, ce qui determine la charge.

Coroll. 1. On voit par là que pour une situation constante de mortier la longueur horizontale du jet est proportionelle à la ligne $CA$ qu'on prend pour la force du jet, car $c$ etant $=0$ l'on a $b={\frac {4n}{nn+1}}a$.

V. Pour trouver la direction du plus long jet possible, l'on a $AB=x={\frac {4n}{nn+1}}a$ qui doit etre un max. differentiant donc cette quantité, ou simplement ${\frac {4n}{nn+1}}$, l'on trouve $n=1$. D'où l'on voit que l'angle demidroit donne le plus long jet possible horizontal.

VI. Pour trouver la plus petite charge qui puisse frapper $E$, l'on a $a={\frac {nn+1}{4nb-4c}}bb$ qui doit etre un min. differentiant cette quantité en faisant $n$ variable, ou differentiant simplement ${\frac {nn+1}{nb-c1}}$ l'on trouve $n={\frac {c}{b}}\pm {\frac {1}{b}}{\sqrt {bb+cc}}$; substituant la racine positive pour $n$ dans $a={\frac {nn+1}{4nb-4c}}bb$ l'on trouve $a={\frac {1}{2}}c+{\frac {1}{2}}{\sqrt {bb+cc}}$.

Voila mon cher Monsieur ce que j'ai peu faire à la hate de remarques sur Votre analyse qui est d'ailleur tres belle et tres feconde avec toute sa brieveté. Je me refere au reste à ma grande lettre qui partit avanthier avant la reception de cet ecrit. La grosseur du paquet où ma lettre etoit enfermée, Vous coutera considerablement, j'en suis faché, mais c'est s. v. p. Votre faute ou celle de Votre long silence, qui me faisoit croire, que comme Vous me faisies entendre autrefois Vous aimeries mieux que je Vous adressasse immediatement mes lettres plutot que les adresser à q[uel]qu'autre. Pardon donc Mons.^r je serai plus sage pour une autre fois. Je suis tout à Vous.

Basle ce 4.^e Mars 1732.

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Fussnoten

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