Montmort, Pierre Rémond de an Bernoulli, Johann I (1718.11.30)

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Autor	Montmort, Pierre Rémond de, 1678-1719
Empfänger	Bernoulli, Johann I, 1667-1748
Ort	Montmort
Datum	1718.11.30
Briefwechsel	Bernoulli, Johann I (1667-1748)
Signatur	Basel UB, Handschriften. SIGN: L Ia 665, Nr.20*
Fussnote

A Monmort ce 30. Nov. 1718.

Je crois vous avoir parlé du livre de M. Craig qui paroist depuis peu. Comme il ne tombera peutestre pas si tost entre vos mains je crois vous faire plaisir de vous en rendre compte.

Le tittre est De calculo fluentium libri duo quibus subjunguntur libri duo de optica analytica. L'auteur contre son ancienne prattique se sert de points à la maniere Angloise. Dans la 1.^ere section il cherche l'integrale de $zdy$ dans les courbes exprimées par ces equations $z^{m}=ay^{n}+bz^{e}y^{r}$, $z^{m}=ay^{n}+bz^{e}y^{r}+b^{e}z^{s}y^{t}$ et ainsi de suitte.

Voicy son 1.^er Exemple par lequel vous jugerez de sa methode. $z^{m}=$$ay^{n}+bz^{e}y^{r}$ unde erit $Azy+Bz^{f}y^{g}=\int zdy$ quadratura omnium curvarum quarum areae per duos tantum terminos exprimi possunt ex utraque aequatione inveniatur valor quantitatis $dz$, invenietur resultans $y^{n}+z^{e}y^{r}+z^{f-1}y^{g+n-1}+z^{e+f-1}y^{g+r-1}=0$, comparatio termini 2.ⁱ $z^{e}y^{r}$ exponentis cum exponentibus termini tertii erit $e=f-1$, $r=g+n-1$, unde $f=e+1$ et $g=r-n+1$, quare si brevitatis causa ponatur $c=r-n$ et $g=c+1$ et $r=c+n$: adeoque $z^{m}=ay^{n}+bz^{e}$$y^{c+n}$ definiet omnes curvas trinomiales et $Azy+Bz^{e+1}y^{c+1}=\int zdy$ quando quadratura constat duobus tantum terminis. Sed si instituta fuisset comparatio inter exponentes termini secundi $z^{e}y^{r}$ et termini quarti $z^{e+f-1}y^{g+r-1}$ tum foret $e=e+f-1$ et $r=g+r-1$ unde $f=1$ et $g=1$ scilicet indeterminati aequales determinatis et proinde rejicienda est haec comparatio.

Dans la 2.^e section il cherche conditiones quadrabilitatis et il trouve pour les trinomes que la relation des exposants doit estre determinée par cette équation ${\overline {c+n}}\times {\overline {2e+1}}+{\overline {m-e}}\times {\overline {2c+1}}=0$. Voicy un cor. assez beau mais que je ne trouve pas demontré. Sit $N$ Numerus terminorum aequationis curvas propositas definientis erit ${\frac {Nc-2c+2e-Ne+m+n}{-cm-en}}$ illa quadrabilitatis conditio quae respicit exponentis numerum debet Numerus per hanc quantitatem algebraicam expressus esse integer et positivus unde in curvis trinomialibus debet ${\frac {c-e+m+n}{-cm-en}}$ esse Numerus integer et positivus nam in his $N=3$, similiter in curvis quadrinomialibus debet ${\frac {2c-2e+m+n}{-cm-en}}$ esse Numerus integer et positivus nam in his $N=4$ et sic de caeteris. La difficulté est plus grande pour determiner le rapport qui doit estre entre les coefficients. Il trouve que pour integrer l'element de la courbe quadrinomiale $z^{m}=ay^{n}+bz^{e}y^{c+n}+bbz^{2e}y^{2c+n}$ dont les quadratures soient exprimées par 3 termes, le rapport des coefficients doit estre exprimé par cette equation ${\frac {{\overline {m-2e}}\times {\overline {1-A}}+{\overline {2c+n}}\times -A}{m\times {\overline {2c+1}}+n\times {\overline {2e+1}}}}\times {\frac {b^{2}}{a}}+{\frac {{\overline {m-e}}\times {\overline {c+1}}+{\overline {c+n}}\times {\overline {e+1}}}{m\times {\overline {2c+1}}+n\times {\overline {2e+1}}}}\times -{\frac {bB}{a}}={\frac {{\overline {m-2e}}\times {\overline {c+1}}+{\overline {2c+n}}\times {\overline {e+1}}}{{\overline {m-e}}\times {\overline {2c+1}}+{\overline {c+n}}\times {\overline {2e+1}}}}\times -{\frac {bbB}{b}}$. (Je copie sans rien changer). J'oubliois de vous dire qu'il suppose $Azy+Bz^{e+1}y^{c+1}+Cz^{2e+1}y^{2c+1}=\int zdy$. Sa suitte pour la quadrature de la courbe exprimée par cette equation $z^{m}=ay^{n}+bz^{e}y^{c+n}+b^{2}z^{2e}y^{2c+n}$ est celle qui suit $A={\frac {m}{m+n}}$, $B={\frac {{\overline {m-e}}\times {\overline {1-A}}-cA-nA}{m\times {\overline {c+1}}+n\times {\overline {e+1}}}}\times {\frac {b}{a}}$, $C={\frac {{\overline {{\overline {m-2e}}\times {\overline {1-A}}+{\overline {2c+n}}\times -A}}\times {\frac {b^{2}}{a}}}{m\times {\overline {2c+1}}+n\times {\overline {2e+1}}}}+{\frac {{\overline {{\overline {c+n}}\times {\overline {e+1}}+{\overline {m-e}}\times {\overline {c+1}}}}\times -{\frac {bB}{a}}}{m\times {\overline {2c+1}}+n\times {\overline {2e+1}}}}$,$D={\frac {{\overline {{\overline {m-2e}}\times {\overline {c+1}}+{\overline {2c+n}}\times {\overline {e+1}}}}\times -{\frac {b^{2}B}{a}}}{m\times {\overline {3c+1}}+n\times {\overline {3e+1}}}}+{\frac {{\overline {{\overline {m-e}}\times {\overline {2c+1}}+{\overline {c+n}}\times {\overline {2e+1}}}}\times -{\frac {bC}{a}}}{m\times {\overline {3c+1}}+n\times {\overline {3e+1}}}}$,$E={\frac {{\overline {{\overline {m-2e}}\times {\overline {2c+1}}+{\overline {2c+n}}\times {\overline {2e+1}}}}\times -{\frac {b^{2}C}{a}}}{m\times {\overline {4c+1}}+n\times {\overline {4e+1}}}}+{\frac {{\overline {{\overline {m-e}}\times {\overline {3c+1}}+{\overline {c+n}}\times {\overline {3e+1}}}}\times -{\frac {bD}{a}}}{m\times {\overline {4c+1}}+n\times {\overline {4e+1}}}}$. On voit la loy pour continuer. Quando hae figurae sunt quadrabiles tum tot seriei termini sumantur quot sunt unitates in ${\frac {2c-2e+m+n}{-cm-en}}+1$. Ex. sit $z^{2}=ay^{-1}+2az^{3}y+$$az^{6}y^{3}$, ex comparatione hujus cum generali quadrinomio invenies $m=2$, $n=-1$, $c=2$, $e=3$ unde ${\frac {2c-2e+m+n}{-cm-en}}=1$ quae est conditio quadrabilitatis exponentes respiciens, et $b=2a$, $b^{2}=a$ quibus competunt altera quadrabilitatis conditio ut per meth. in sect. 2 traditam patebit et proinde fig. proposita Geometrica quadr. capax est et quia ${\frac {2c-2e+m+n}{-cm-en}}+1=2$, ideo quadratura illa obtinetur substituendo praedictos valores quantitatum $\int zdy=2zy-z^{3}y$.

Il applique la meme methode aux courbes quarum aequationes definiuntur per aequationem completam quinque, sex etc. terminorum. La section 5 est de quadraturis fig. Geometrice irrationalium. On a deja vu sa methode ailleurs. Apres l'avoir exposé et donné des Ex. il donne ce scolium, ex his quadraturis irrationalibus facile invenietur an figurae portio quaevis sit Geometrice quadrabilis, quaenam portio sit, quaeque ejus quadratura. Nam cum termini irrationales, id est termini quos $v$ ingreditur, impediunt quominus areae expressio generalis sit Geometrica ideo ut portio aliqua sit quadraturae Geometricae capax efficiendum est ut evanescant omnes termini in quibus $v$ occurrit quod fit ponendo omnes illos terminos nihilo aequales et sic etc. Il donne ensuitte les quadratures parfaittes des espaces, segmens, secteurs etc. que vous avez determiné autrefois dans la cycloide et il finit en disant, ex hoc fundamento deducuntur omnia illa quae de cycloidis spatiis innumeris Geometrice quadrabilibus tradiderunt fratres clarissimi Jac. et Joh. Bernouilli in Act. Erud. Leip. Ipse autem ni fallor primus detexi hoc fundamentum in Act. phil. R. Soc. 7^bre 1697 in quibus duo exhibui theoremata innumerarum figurarum irrationalium quadraturas determinantia quae in Geometria prorsus nova erant utque pateat Methodi precedentis usus (c'est la vostre), il l'applique aux lunules, à une certaine courbe de M. Leibnitz etc. Ce qui suit regarde la maniere de separer les indeterminées et est plus neuf, le 1.^er cas est facile, je le passe, voicy le 2.^e

$ay^{m}dy=by^{m+1}dx+qx$

in quo $q$ denotat quantitatem ex determinatis et $x$ utcunque compositam. Sit fluens quaesita $By^{m+1}=z^{e}\times \int z^{n}qdx$ (unde $Bz^{-e}y^{m+1}=\int z^{n}qdx$) cujus fluxio est ${\overline {m+1}}By^{m}dy=z^{e+n}qdx+ez^{e-1}dz\times \int z^{n}qdx$ in qua si substituatur praecedens valor quantitatis $\int z^{n}qdx$ aequatio erit ${\overline {m+1}}By^{m}dy=eBy^{m+1}z^{-1}dz+z^{e+n}qdx$. Fiat comparatio inter terminos hujus et aequationis propositae erit (1.^a) ${\overline {m+1}}By^{m}dy=ay^{m}dy$ unde $B={\frac {a}{a+1}}$ (2.^a) $eBy^{m+1}z^{-1}dz=by^{m+1}dx$ unde $eBz^{-1}dz=bdx$ et quia hic separantur indeterminatae cum suis fluxionibus ideo per methodos praecedentes invenietur hujus fluens seu $z$ per $x$ et determinatas. (3.^a) $z^{e+n}qdx=qdx$ unde $z^{e+n}=1$ ergo $e+n=0$ et quia non plures sunt comparationes ideo sumatur $e$ vel $n$ ad arbitrium; ut si sumatur $e=1$ tum $n=-1$, ex his patet quod ${\frac {ay^{m+1}}{m+1}}=z\times \int z^{-1}qdx$ sit fluens assumpta in qua si pro $z$ substituatur valor ejus per $x$ et datas expressus per comparationem 2.^am inventus tum fiet separatio indeterminatarum et proinde fluens quantitatis $z^{-1}qdx$ dabitur per methodos praecedentes et si exterminatur $z$ fluens assumpta dabit relationem inter $y$ et $x$.

Casus 3.^us

$ay^{mdy}=by^{m+1}pdx+qdx$

in quo $p$ et $q$ sunt quantitates ex $x$ determinatis utcunque compositae. Assumo ut in praecedenti $By^{m+1}=z^{e}\times \int z^{n}qdx$ cujus fluxio est ${\overline {m+1}}\times$$By^{m}dy=eBy^{m+1}z^{-1}dz+z^{e+n}qdx$, ex comparatione hujus cum proposita erit ${\overline {m+1}}By^{m}dy=ay^{m}dy$ unde $B={\frac {a}{m+1}}{\text{ et }}eBy^{m+1}z^{-1}dz=by^{m+1}pdx$ unde $eBz^{-1}dz=bpdx$, quia $p$ ex hyppotesi componitur ex $x$ et indeterminatis ideo in hac 2.^a comparatione separantur indeterminatae $z$, $x$ cum suis fluxionibus $dz$, $dx$, adeoque inveniri potest $z$ per $x$ et datas denique $z^{e+n}qdx=qdx$ unde $z^{e+n}=1$ adeoque $e+n=0$, sumatur ad arbitrium $e=1$ adeoque $n=-1$ ex his valoribus quantitatum $B$, $e$, $n$ fluens assumpta erit ${\frac {ay^{m+1}}{m+1}}=z\times \int z^{-1}qdx$ in qua si pro $z$ substituatur ejus valor ex comparatione 2.^a inventus et tum dabitur fluens quantitatis $z^{-1}qdx$ adeoque habetur fluens quaesita seu aequatio exprimens relationem inter $y$ et $x$. Q. E. I.

Casus 4.^us $ady=pydx+by^{n}qdx$

in quo $p$ et $q$ sunt quantitates compositae ex $x$ et determinatis, transmutetur proposita aequatio in simpliciorem hoc modo. Assumatur $y=v^{r}$ ubi $v$ denotat quantitatem indeterminatam cujus exponens est $r$; ope hujus exterminetur $y$ et $dy$ ex aequatione proposita et erit $arv^{r-1}dv=pv^{r}dx+bv^{rn}qdx$ quae divisa per $v^{rn}$ dat $arv^{r-1-rn}dv=pv^{r-rn}dx+bqdx$ ut haec simplicissima fiat ponatur $r-1-rn=0$ unde $r={\frac {1}{1-n}}$, adeoque erit ${\frac {adv}{1-n}}=pvdx+bqdx$, sed manifestum est hanc aequationem contineri sub aequatione casus 3.ⁱⁱ scilicet quando $m=0$ ergo per meth. in casu 3 traditam invenietur aequationis hujus fluens seu relatio inter $v$ et $x$, sed ex assumpta $y=v^{\frac {1}{1-n}}$ habetur relatio inter $v$ et $y$ ergo ex utraque habetur relatio inter $y$ et $x$. Q. E. I.

Casus V. $ay^{c}dy=by^{n}qdx+pdx$

in quo $p$ et $q$ denotant quantitates datas per $x$. Transmutetur aequatio proposita in simpliciorem ut in praecedenti casu. Scilicet assumendo $y=v^{r}$ cujus ope si exterminetur $y$ et $dy$ erit $ar\times v^{cr+r-1}dv=bv^{rn}qdx+pdx$. Destruatur exponens quantitatis $v$ in primo termino, ponendo $cr+r-1=0$ seu $r={\frac {1}{c+1}}$ unde ${\frac {adv}{c+1}}=bv^{\frac {n}{c+1}}qdx+pdx$ cujus fluens facile invenietur per methodum quae in casu 2 et 3 traditur; ex inventa relatione inter $v$ et $x$ et assumpta relatione $y=v^{\frac {1}{c+1}}$ inter $v$ et $y$ habetur relatio inter $y$ et $x$. Q. E. I.

Dans une lettre que j'ay recu depuis peu de M. Taylor il me marque qu'il y a erreur dans la solution de ce 5. cas et qu'il l'a mandé à l'auteur. Vous en jugerez. Le livre 2 contient des Exemples[:] dato numero invenire logarithmum, dato logarithmo invenire numerum, invenire series quae exhibeant logarithmos sinuum rectorum, tangentium, secantium, invenire series pro arcu circulari ejusque sinubus, tangente et chorda, deux prob. sur la ligne loxodromique. Tout cela M.^r donné cy devant par vous M.^r, vostre frere et M. Leibnitz compose les 3 sections de cette 2.^e partie. La 4.^eme et derniere a pour tittre De transmutatione figurarum curvilinearum. M. Newton y est cité comme vous jugez bien. Il ne cite personne dans les 3 precedentes. Le traitté Optica analytica est court et me paroist bon. J'ay recu depuis peu quelques cayers des Transactions philosophiques dans les quels je trouve des choses qui vous regardent, je vous en ferai part incessament. Je n'ai pas le temps de recommencer une autre feuille. J'ay l'honneur d'estre Monsieur avec mon attachem[ent] ordinaire Vostre tres humble et tres obeissant serviteur Remond de Monmort

J'ay fait remettre il y a 15 jours chez M. Birr un pacquet à vostre adresse. Il y a pour vous 4 exemplaires du traitté des suittes et le recueil de lettres de M.^rs Leibnitz et Clarc, pour M. vostre neveu 3 exemp. de mon livre Essay d'analyse et 4 des suittes, pour M. Herman un exempl. Essay d'analyse et 4 des suittes.

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Fussnoten

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