Bernoulli, Johann I an Wolff, Christian (1717.09.10)

Kurzinformationen zum Brief       mehr ...
Autor	Bernoulli, Johann I, 1667-1748
Empfänger	Wolff, Christian, 1679-1754
Ort	Basel
Datum	1717.09.10
Briefwechsel	Bernoulli, Johann I (1667-1748)
Signatur	Basel UB, Handschriften. SIGN: L Ia 671, Nr.9
Fussnote	Autographer Zusatz am Textende

Viro Celeberrimo et Nobilissimo

Christiano Wolfio

S. P. D.

Joh. Bernoulli.

Qui has litteras ad Te defert, Vir Celeberrime, Juvenis est Basiliensis indole et moribus probis praeditus, is ad Academiam vestram migrat aliquandiu ibi studiorum gratia commoraturus: quare eum Tibi de meliore nota commendatum volo, etiamsi nullos ut puto profectus in Mathematicis fecerit. Non est quod gratias agas pro transmissis notulis meis, in quandam Elementorum Tuorum partem, id enim ex debito meo me fecisse puto; ita quippe inter amicos agendum ratus, ut alter alterum commonefaciat privatim, si quid in scriptis hujus reperiat quod correctionem quandam mereri existimet. Dicis "nondum apparere cur $x^{x}dx$ non sit = $xlxdx$", addisque statim, "quia $x^{x}=xlx$", sed hoc ipsum est quod verum esse nequit, siquidem differunt numerus et logarithmus ejus; est enim $xlx$ nihil aliud quam logarithmus το $x^{x}$, vides itaque Te nescio quo praejudicio fuisse occupatum, quando putasti $x^{x}$ esse $=xlx$.

Ut autem Tecum communicem quia petis veram seriem ipsius $\int x^{x}dx$, exscribam hic ex schedis meis quae hac de re ante 25 circiter annos ad Illustr. Leibnitium transmiseram. Dati Logarithmi $p$ invenitur numerus per hanc seriem dudum cognitam, $q=1+{\frac {1}{1}}p+{\frac {1}{1\cdot 2}}pp+{\frac {1}{1\cdot 2\cdot 3}}p^{3}+{\frac {1}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}}p^{4}+{\textrm {etc.}}$ ideoque si pro $p$ substituatur $xlx$, habebitur numerus ipsius $xlx$, i. e. ipsum το $x^{x}=1+{\frac {1}{1}}xlx+{\frac {1}{1\cdot 2}}xxlx^{2}+{\frac {1}{1\cdot 2\cdot 3}}x^{3}lx^{3}+{\frac {1}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}}x^{4}lx^{4}+{\textrm {etc.}}$ proinde $x^{x}dx=1dx+{\frac {1}{1}}xlxdx+{\frac {1}{1\cdot 2}}xxlxxdx+{\frac {1}{1\cdot 2\cdot 3}}x^{3}lx^{3}dx+{\frac {1}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}}x^{4}lx^{4}dx+{\textrm {etc.}}$ Hujus seriei termini summari vel integrari poterunt, postquam ostendero quo pacto quilibet in alios plures integrabiles convertendus, hoc in sequenti laterculo ob oculos ponitur ubi notandum quod $dlx={\frac {dx}{x}}$;

${\begin{array}{llrlll}&&dx&=&dx\\&&xlxdx&=&xlxdx+{\frac {1}{2}}xxdlx/-{\frac {1}{2}}xdx\\&&xxlx^{2}dx&=&xxlx^{2}dx+{\frac {2}{3}}x^{3}lxdlx/-{\frac {2}{3}}xxlxdx-{\frac {2\cdot 1}{3\cdot 3}}x^{3}dlx/+{\frac {2\cdot 1}{3\cdot 3}}xxdx\\&&x^{3}lx^{3}dx&=&x^{3}lx^{3}dx+{\frac {3}{4}}x^{4}lxxdlx/-{\frac {3}{4}}x^{3}lx^{2}dx-{\frac {3\cdot 2}{4\cdot 4}}x^{4}lxdlx/+{\frac {3\cdot 2}{4\cdot 4}}x^{3}lxdx+{\frac {3\cdot 2\cdot 1}{4\cdot 4\cdot 4}}x^{4}dlx/\\&&&-&{\frac {3\cdot 2\cdot 1}{4\cdot 4\cdot 4}}x^{3}dx\\&&x^{4}lx^{4}dx&=&x^{4}lx^{4}dx+{\frac {4}{5}}x^{5}lx^{3}dlx/-{\frac {4}{5}}x^{4}lx^{3}dx-{\frac {4\cdot 3}{5\cdot 5}}x^{5}lx^{2}dlx/+{\frac {4\cdot 3}{5\cdot 5}}x^{4}lx^{2}dx+{\frac {4\cdot 3\cdot 2}{5\cdot 5\cdot 5}}x^{5}lxdlx/\\&&&-&{\frac {4\cdot 3\cdot 2}{5\cdot 5\cdot 5}}x^{4}lxdx-{\frac {4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{5\cdot 5\cdot 5\cdot 5}}x^{5}dlx/+{\frac {4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{5\cdot 5\cdot 5\cdot 5}}x^{4}dx&.\end{array}}$

Si itaque capiantur integralia per partes duabus lineolis /..../ inclusas prodibit

${\begin{array}{llll}&\int dx&=&x\\&\int xlxdx&=&{\frac {1}{2}}xxlx-{\frac {1}{2^{2}}}xx\\&\int xxlx^{2}dx&=&{\frac {1}{3}}x^{3}lx^{2}-{\frac {2}{3^{2}}}x^{3}lx+{\frac {2\cdot 1}{3^{3}}}x^{3}\\&\int x^{3}lx^{3}dx&=&{\frac {1}{4}}x^{4}lx^{3}-{\frac {3}{4^{2}}}x^{4}lx^{2}+{\frac {3\cdot 2}{4^{3}}}x^{4}lx-{\frac {3\cdot 2\cdot 1}{4^{4}}}x^{4}\\&\int x^{4}lx^{4}dx&=&{\frac {1}{5}}x^{5}{lx}^{4}-{\frac {4}{5^{2}}}x^{5}lx^{3}+{\frac {4\cdot 3}{5^{3}}}x^{5}lx^{2}-{\frac {4\cdot 3\cdot 2}{5^{4}}}x^{5}lx+{\frac {4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{5^{5}}}x^{5}\end{array}}$

$\int x^{5}lx^{5}dx={\frac {1}{6}}x^{6}lx^{5}-{\frac {5}{6^{2}}}x^{6}lx^{4}+{\textrm {etc.}}$

Multiplicatis his integralibus per coefficientes seriei integrandae $1{\textrm {,}}{\frac {1}{1}}{\textrm {,}}{\frac {1}{1\cdot 2}}{\textrm {,}}{\frac {1}{1\cdot 2\cdot 3}}{\textrm {,}}{\frac {1}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}}$, etc. positisque in linea verticali quae ad singulos pertinent terminos, orientur series infinitae, quae in unam summam collectae dabunt $\int x^{x}dx$, quod desiderabatur, illae autem series ita se habent

${\begin{array}{llllllllllll}&\int x^{x}dx&=&x&+&{\frac {1}{1\cdot 2}}xxlx&+&{\frac {1}{1\cdot 2\cdot 3}}x^{3}lxx&+&{\frac {1}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}}x^{4}lx^{3}&+&{\frac {1}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5}}x^{5}lx^{4}+{\textrm {etc.}}\\&&&&-&{\frac {1}{2^{2}}}xx&-&{\frac {1}{1\cdot 3^{2}}}x^{3}lx&-&{\frac {1}{1\cdot 2\cdot 4^{2}}}x^{4}lx^{2}&-&{\frac {1}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 5^{2}}}x^{5}lx^{3}-{\textrm {etc.}}\\&&&&&&+&{\frac {1}{3^{3}}}x^{3}&+&{\frac {1}{1\cdot 4^{3}}}x^{4}lx&+&{\frac {1}{1\cdot 2\cdot 5^{3}}}x^{5}lx^{2}+{\textrm {etc.}}\\&&&&&&&&-&{\frac {1}{4^{4}}}x^{4}&-&{\frac {1}{1\cdot 5^{4}}}x^{5}lx-{\textrm {etc.}}\\&&&&&&&&&&+&{\frac {1}{5^{5}}}x^{5}+{\textrm {etc.}}\\&&&&&&&&&&-&{\textrm {etc.}}\end{array}}$

Hinc in casu quo $x=1$, ac proinde $lx{\textrm {,}}lx^{2}{\textrm {,}}lx^{3}{\textrm {etc.}}=0$ evanescent omnes termini, in quibus reperitur $lx$ aut ejus aliqua potestas, unde in eo casu, oritur pro $\int x^{x}dx$ series admodum singularis, quae Leibnitio mirifice placuerat, nimirum haec

$\int x^{x}dx=1-{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{3}}}-{\frac {1}{4^{4}}}+{\frac {1}{5^{5}}}-{\frac {1}{6^{6}}}+{\textrm {etc.}}$

Quae series citissime convergit, ob numerorum crescentium potestates brevi in immensum crescentes, decimus quippe terminus ${\frac {1}{10^{10}}}$ partem primi termini vel unitatis facit duntaxat decies - millies - millionesimam.

Quod de syphone recurvo memoras in vacuo aeque ac in aëre (ut dicere pergis) aquam transmittente: vellem ut idem tentares cum argento vivo loco aquae, non dubito quin tum sis contrarium experturus. Non semel expertus ita loquor. Accepi Te jubente a Dno. Menckenio plagulas quae deerant exemplari Lexici Tui mihi transmissi, pro quo iteratas refero gratias.

Anonymus ille quisquis sit, qui Te reprehendit, quod praetuleris meam solutionem problematis isoperimetrici solutioni fratris mei, eatenus quidem non male monuit, quod in solutione mea revera sphalma aliquod sed ex mera oscitantia commissum sit, verum non satis urbane mecum agit, quod ideo totam meam solutionem tanquam falsam exagitet, si ipsa methodus mea (et duplex quidem) falsa esset, debuisset falsitatem demonstrare non jactare, atque deinde ostendere, qui fiat quod per utramque eandem solutionem problematis primi invenerim quam etiam frater ipse vidit et approbavit antequam suam edidisset, hunc quippe successum ascribere velle conjecturae, ut frater fecerat priusquam ipsas meas methodos vidisset, tanto nunc magis ridiculum esset, quod non sors fortuita sed certae methodi, quae jam extant me perduxerint ad id quod pronunciaveram. Interim ecce mitto Tibi scriptum continens viam novam eamque perfacilem solvendi problemata isoperimetrica atque alia ejus naturae: videbis prolixitatem, qua anonymus solutiones fraternas peccare jure conqueritur, usque adeo abesse a solutionibus meis, ut etiam nullo quasi calculo ad finales aequationes perveniam per solam figurae contemplationem, idque ope certae pro singulis problematibus uniformitatis, quae fere sponte se offert. Rogo ut omnia attente examines, atque, si luce publica digna deprehenderis, ut scriptum hocce Lipsiam mittas Actis inserendum, optarem autem ut vitia typographica quoad fieri potest praecaveantur, habebit si recte auguror eam utilitatem ut non modo lapsus a me admissus abunde reparetur, sed et ut Geometrae (quorum vix unus fuerit, qui materiam intricatissimam sive ob prolixitatem fratris sive ob Taylori obscuritatem satis clare intellexisse se gloriari possit, aut qui ob easdem causas a lectione taediosissima non omnino fuerit absterritus) ut inquam Geometrae solutionum veritates nunc per se ipsos et velut ludendo assequi et examinare queant. De caetero nihil habeo quod addam, nisi quod quis ille sit anonymus gratum mihi esset si dicere posses, si scriptionem ejus viderem, fortassis manum cognoscerem. Quod Hermannus suspicatur mihi deberi epistolam a Te transformatam, sane vicissim ego non levem suspicandi causam habeo, illum ipsum esse hunc anonymum. Neminem enim noverim praeter illum, qui patientiae satis deditus sit, ut prolixitate non fuerit repudiatus, quin calculos fratris a principio ad finem usque ad examen exigeret et ne quid minimum praetermitteret; hoc enim ni fecerit anonymus, pro certo dicere non potest "solutionem Jacobi non nisi prolixitate peccare, interim esse genuinam". Cum nuper epistolam a Te transformatam in Actorum mense Julio anni superioris obiter relegerem visurus num quid ibi sit, quod me tanquam Auctorem ejus detegere posset, verbulum unicum inveni, unde attentus Lector a me scriptam esse suspicari possit etenim ultima demum epistolae pagina quae est 314 in illo Actorum Tomo lin. 10 "a fine", legitur hoc, "meam formulam ex Newtoniana esse desumtam", ubi το "meam" mutari debuisset in το "Bernoullii"; vereor autem ne Keilius, qui me proscindendi omnem occasionem arripiet, hoc contra me in usum suum sit versurus. E re igitur esse credo, ut cogites de commoda hujus loci correctione in erratis ponenda; posses ex. gr. monere pro "meam formulam" legendum esse "eam formulam", sed hoc tamen nondum satis quadrat; vellem itaque ut invenires modum commodiorem, quo culpa in typothetam plausibiliter rejici posset; id prudentiae Tuae relinquo. Non certe parum merebis de publico litterario, si opera Tua id fiat ut Leibnitii Msc. mathematica et philosophica in Gazophylacio Regis Angliae asservata in lucem protrahantur: si quis commonstraret Regi, hoc vergere in honorem nominis Germanici, ut tanti Viri Germaniae ornamenti opera posthuma ab interitu vindicentur ea praesertim quae meditabatur ad gloriam sibi debitam tuendam contra quosdam extraneos obtrectatores, spero Regem non fore difficilem. Valde curiosus essem nosse quid illud sit quod significavit Tibi, se daturum aliquid omnibus Geometris "inopinatum" et cum inventis nunc in publicum prostantibus nihil prorsus commune habens; mihi quidem indicaverat se ad praelum parare commercium epistolicum alteri illi Londinensi opponendum; sed non addidit se quoque alia daturum, quae forent mirifica et inaudita; miror, si talia habuit mysteria nulli mortalium praeterquam sibi cognita, quod a me petierit ut suggererem aliquid quod Anglis esset impervium, nostris vero methodis tractabile; nec satis capio cur non potius ex inopinatis suis aliquid proposuerit, quo facilius Antagonistis Anglis os obturasset. Vidi pronuper quae Keilius in Diario Hagiensi Tom. 8, part. II. contra me meumque adgnatum deblateravit; sed nihil aliud fere esse deprehendi, quam repetitam crambem, ad cujus singula capita in ipsa illa epistola transformata, jam ita sibi responsum videbit Keilius, ut vix melius responderi potuisset, si illa data opera scripta esset contra hos ultimos insultus Keilianos; pauca aspersit nova, sed nil nisi putida et frivola; ad omnia vero et singula inter legendum ex templo feci notas tumultuarias, quas Tibi etiam misissem aut adhuc mitterem, si Te earum curiosum scirem, aut si id negotii Tibi dare velles ut ex iis responsionem formalem componeres sed non meo nomine edendam, nam non eo loco habeo Keilium utpote hominem rusticum et non tam rationibus nostris quam affectibus suis auscultantem, ut dignus sit cum quo aperto marte in certamen me committam: proposui mihi hac in parte exemplum Newtoni objectionibus etiam sanioribus nunquam per se ipsum respondentis; quid ergo tempus ego perderem in cavillatoris nugis usque et usque repetitis sine fine retundendis? Problematis mei a Leibnitio Anglis propositi solutionem quam ab Anonymo in Transactionibus Anglicanis exhibitam, jam antea mihi miserat Leibnitius optime praevidebas illam mihi minime satis facturam. Et qui quaeso aliter de ea sentire potuisses, modo attenderis ad Thrasonicum modum quo Auctor solutionis (quisquis ille sit) eandem profert, ille enim probe perspiciens praetensae suae methodi generalis insufficientiam non dignatur se accingere ad exemplum particulare a Leibnitio Anglis propositum, sed paucis verbis elegantem suam methodum expediens superciliose finit in hunc modum, "problema hocce", inquit, "cum nullius sit usus in Actis Eruditorum annos plures neglectum et insolutum mansit et eadem de causa solutionem ejus non ulterius prosequor", scilicet ut vulpecula in fabula pyra attingere cum non valeret, noluit ea "ulterius prosequi". Quam solutionem Cl. Hermannus dedit, quamque etiam vidi ex communicatione Leibnitii, eam parum aut nihil differre observo, ab ipsa quam Leibnitius jam olim invenerat ut patet ex Actis Lips. 1708, p. 470 imo utraque et Hermanni et Leibnitii solutio reipsa non discrepat ab ipsa mea regula quam jam tum inveneram cum inciderem in problema trajectoriarum ut videre est ex epistola quadam mea ad Leibnitium scripta d. 2. 7bris 1694 cujus excerpta extant loco citato. Sed omnes istae regulae partim jam olim a nobis inventae partim nunc demum ab Hermanno et Anglo Anonymo renovatae, quae quod facile se offerant mirum non est quod a diversis hominibus diverso tempore inventae in idem quoad rem ipsam coincidant: verum hoc ipsum quia percipiebam regulas illas non esse applicabiles, nisi ad curvas algebraicas et ad pauca quaedam exempla transcendentium effecit ut Leibnitio suggererem tale quod per communem methodum non esset solubile et quod eandem ob causam Anonymus Anglus (si modo verum fateri voluisset) noluit ulterius prosequi quia non potuit. Quod si Hermannus etiamnum contendat regulam a se datam esse generalem, tentet vadum hujus problematis particularis, mutabit opinor sententiam. Habeo methodum (sed diversam ab illa olim inventa) quae hoc et alia ejusmodi problemata feliciter solvit, quamvis et ipsa ut verum non dissimulem non omni numero sit perfecta, sunt enim quaedam exempla curvarum transcendentium ad quae non facile extenditur: quicquid vero sit, methodum istam divulgandi nondum tempus esse puto.

Postquam Groninganorum iteratam invitationem honestis licet et lautis conditionibus oblatam constanter repudiavi, credo eos mihi nunc subiratos esse, quia nullas amplius litteras ab illis accipio. Alioquin non intermittam, quam primum id fieri possit Hermannum nostrum pro viribus commendare, ut in ipsum transferatur munus, quod ego acceptare renui aut potius per varia obstacula non potui. Quod superest Vale Vir optime et fave.

Dabam Bas. a. d. X septemb. 1717.

P. S. Litteras ad Cl. Hermannum hisce adjeci, quae ut ad ipsum mittantur instanter rogo.

---

Fussnoten

Zurück zur gesamten Korrespondenz