Hermann, Jacob an Bernoulli, Johann I (1703.12.22)

Kurzinformationen zum Brief mehr ...
Autor	Hermann, Jacob, 1678-1733
Empfänger	Bernoulli, Johann I, 1667-1748
Ort	Basel
Datum	1703.12.22
Briefwechsel	Bernoulli, Johann I (1667-1748)
Signatur	Basel UB, Handschriften. SIGN: L Ia 659, Nr.3*
Fussnote

Viro Excellentissimo

Domino

Johanni Bernoulli Phil. et Medic. Doctori,

Matheseos Professori Celeberrimo, et Regiarum

Academiarum Sodali Meritissimo,

Fautore atque Patrono summe

colendo!

Jacobus Hermannus. S. S. M. C.^[1]

S. P. D.

Quanquam haud ita pridem litteris Te lacessiverim, non potui tamen, quin iteratis hisce sed gratulatoriis Tuos turbarem Circulos, a me obtinere. Ex Animo itaque gratulor de Professione in hac nostra Universitate, Tibi praeterito die Martis destinata atque oblata. Dubius adhuc dum haereo, Utri magis gratulari debeam, an Tibi nuperam Vocationem splendidissimam modeste recusanti, Musasque Groninganas Ultrajectinis praeferenti, nunc vero ex splendida Urbe Groningana studiorum meritorumque Tuorum insignium generosa Fautrice, in Athaeneum patrium rarissimis in virtutibus remunerandis tepidissimum vocato, an desideratissimo Dno. Parenti, an Gravissimo et Ampl. Dno Socero, an Dn. Dn. Fratribus singulis Te videndi et in eadem Tecum Urbe vivendi quam ardentissime optantibus, an Studiosae Iuventuti egregia Tua Institutione Usurae, an denique mihi, cui praesentia Tua desideratissima non poterit non omnibus modis esse summe proficua.

Deus T. O. M. Te sanitate inconcussa una cum tota honoratissima Familia vitaque longaeva beet, ut quam diutissima nostra Urbs Te, Vir Cl. ceu micantissimo sidere frui imo et superbire Tuaque mediante fama longinquis in oris aliquam et sibi acquirere possit. Faxit Deus ut primam hanc Tuam in Patria Promotionem in remunerationem tot exantlatorum a Te laborum et acquisitorum meritorum, brevi altior, Tibique gratior excipiat. Petitionem meam humillimam nuperrime Tibi factam hic reiteratam opto; et occasione hac, Te, Vir Celeberr. etiam atque etiam rogo, ut me apud Illustrissimos D. Dn. Curatores Groninganos de meliore nota commendes, quo beneficio maximo, quoad vivam me Tibi devincies semperque gratissima id mente recolam omnibusque datis occasionibus gratitudinem meam testari conabor.

Quantum ad Problema Tuum Ingeniosissimum de transformatione Curvarum Algebraicarum in alias propositis longitudine aequales, dixi in ultimis meis, me solutionem in omnibus Parabolis reperisse. En Tibi eam! sint $x$ et $y$ coordinatae et $a$ Parameter Parabolae Apollonianae, $t$ et $u$ Coordinatae Curvae transformatae, erit salvo Calculo, posito ${\sqrt {a^{2m}-y^{2m}}}=z^{m};t={\frac {y^{1+m}}{{\overline {1+m}}a^{m}}}-{\frac {a^{1-3m}z^{3m}}{{\frac {3}{2}}m}}+{\frac {{\frac {1}{m}}-1,a^{1-5m}z^{5m}}{{\frac {5}{2}}m}}-{\frac {-{\frac {1}{m}}-1\cdot {\frac {1}{m}}-2}{1\cdot 2\times {\frac {7}{2}}m}}a^{1-7m}z^{7m}+$ ${\frac {{\frac {1}{m}}-1\cdot {\frac {1}{m}}-2\cdot {\frac {1}{m}}-3}{1\cdot 2\cdot 3\times {\frac {9}{2}}m}}a^{1-9m}z^{9m}$ etc. + $a,{\overline {{\frac {1}{{\frac {3}{2}}m}}-{\frac {{\frac {1}{m}}-1}{{\frac {5}{2}}m}}+{\frac {{\frac {1}{m}}-1\cdot {\frac {1}{m}}-2}{1\cdot 2\times {\frac {7}{2}}m}}-{\frac {-{\frac {1}{m}}-1\cdot {\frac {1}{m}}-2\cdot {\frac {1}{m}}-3}{1\cdot 2\cdot 3\times {\frac {7}{2}}m}}}}$ etc.; $u=-{\frac {2y^{2+m}}{2+ma^{1+m}}}-{\frac {a^{1-3m}}{3m}}z^{3m}+{\frac {{\frac {1}{2m}}-1}{5m}}a^{1-5m}z^{5m}-{\frac {{\frac {1}{2m}}-1,{\frac {1}{2m}}-2}{1\cdot 2\times 7m}}a^{1-7m}z^{7m}+{\frac {{\frac {1}{2m}}-1,{\frac {1}{2m}}-2,{\frac {1}{2m}}-3}{1\cdot 2\cdot 3\times 9m}}a^{1-9m}z^{9m}$ etc. + $aM\cdot {\frac {1}{3m}}-{\frac {{\frac {1}{2m}}-1}{5m}}+{\frac {{\frac {1}{2m}}-1,{\frac {1}{2m}}-2}{1\cdot 2\times 7m}}-{\frac {{\frac {1}{2m}}-1\cdot {\frac {1}{2m}}-2\cdot {\frac {1}{2m}}-3}{1\cdot 2\cdot 3\times 9m}}$ etc.;

Unde si $m$ sit fractio cujus Numerator unitas, Denominator vero Numerus quilibet par, Utraque series finita fiet, adeoque infinitae Algebraicae Curvae hoc modo inveniri queunt, omnes propositae Parabolae longitudine aequales.

Generaliter facile invenio $dt={\frac {dx+pdy}{\sqrt {1+pp}}}$ et $du={\frac {dy-pdx}{\sqrt {1+pp}}}$ , ubi si $p$ utrinque constans est, constat aequationes integrabiles esse, sed hoc non satisfacit. Ponendo autem $p$ esse quantitatem variabilem, difficile inventu est quid loco $p$ utrinque poni debeat, ut utraque aequatio Integrabilis evadat; fateorque candide nihil hactenus mihi occurrisse quo ad quaesitum pervenirem. Scripsi ante aliquot Tempus Parisios ad Cl. Varignon utrum in Eph. Erudit. Gallicis Solutio^[2] ejus comparuerit, sed ad hoc mihi nihil respondit in nuperis suis literis ad me datis, adeo ut facile inde conjicere queam nullam adhuc ejus in publico extare solutionem, Tuum igitur est Vir Celeberr. difficillimi Problematis Adyta reserare. Vale meque Tuo Patrocinio et Favore porro amplectere.