1733-08-09 Bernoulli Johann I-Maupertuis Pierre Louis Moreau de

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Autor	Bernoulli, Johann I, 1667-1748
Empfänger	Maupertuis, Pierre Louis Moreau de, 1698-1759
Ort	Basel
Datum	1733.08.09
Briefwechsel	Bernoulli, Johann I (1667-1748)
Signatur	Basel UB, Handschriften. SIGN: L Ia 662, Nr.31
Fussnote	Am Briefkopf eigenhändig "à Mr. de Maupertuis". Eigenhändiges P.S.

Monsieur Votre long silence m'auroit mis en peine, si je n'avois prévû que c'étoit par discretion de ne pas interrompre mes meditations où j'etois en composant ma piece; j'en suis présentement de hors graces à Dieu, je l'ai meme deja lachée et elle partit au commencement de ce mois à l'adresse de Mr. le C. Donsenbrai, dont je donnai en meme temps avis à Mr. de Fontenelle, que je priois de m'envoyer un recipissé. Je ne vous dirai pas ma devise pour ne pas paroitre de vouloir vous prévenir en ma faveur; mais Vous verrés bientot que ce n'est rien moins qu'un François qui en est l'Auteur, et Vous me reconnoitrés facilement par plusieurs circonstances: mon explication de la gravitation des Planètes sur le Soleil Vous est déja connue dès la conversation que nous eumes ensemble sur cette matière; un des plus forts arguments contre l'attraction de Mr. Newton me paroit se tirer de ce que si cette attraction avoit lieu, les forces centrales des Planètes devroient etre proportionelles reciproquement aux cubes des distances et non point à leurs quarrés; mais l'impulsion que j'employe fait voir clairement pour quoi sa force doit etre en raison inverse doublée de la distance: cependant sans en rien dire d'avantage, je Vous laisse la pleine liberté de juger sur mes raisonements, aux quels rien ne manqueroit à ce qu'il me semble, si mon Discours avoit eté écrit par une plume eloquente. Je serois pourtant bien aise (en cas que Vous vinsiés à me reconnoitre par Vous meme) d'apprendre ce que vous penserés en general du contenu de mon Discours; je Vous promets d'y acquiescer et de ne vous pas gêner dans la liberté d'opiner selon Votre conscience: Votre sentiment me donneroit peutetre à connoitre, quel sera à peuprès le succès de mon travail. Si Vous me paroissés Anglois, Monsieur, c'est Anglois raisonnable que Vous me paroissés, qui ne poussés pas le principe d'attraction au delà de la Geometrie jusques dans la Physique, comme font les Sectateurs rigides de Mr. Newton, plus que n'a fait Mr. Newton lui meme: Aussi verrés Vous que je Vous ai rendu là dessus toute la justice qui Vous est düe.

Que la gageure de Mr. l'Abbé de Gua soit une bagatelle, ou non, c'est de quoi je ne m'informe pas, mais je serois curieux de savoir son Antagoniste, à qui il fut obligé de payer la gageure.

Quand j'ecrirai à mes Fils à Petersbourg je ne manquerai pas de leur dire ce que vous souhaités, ils seront charmés de se voir si avant dans vos bonnes graces. Je m'attens touts les jours de postes à recevoir des Lettres d'eux; Selon les derniers avis, l'ainé reviendra cette année et peutetre le Cadet avec lui, à moins qu'on ne lui ait offert quelque etablissement raisonnable.

Je sçai que le 3.^e Tome des Mem. de Petersb. paroit déja depuis quelque temps quoique je ne l'aye pas encore vû. Mon fils ne nous l'a pas envoyé; c'est peutetre parce qu'il veut avoir l'honneur de Vous le presenter lui meme. Je Vous demande à mon tour, Monsieur, si Vos Memoires de 1731 ne paroissent pas encore; il y a fort longtemps que je n'ay rien reçû de la part de l'Academie, pas meme le programme du prix de 1735: Et la piece qui a remporté le prix de cette année et qui doit etre de Mr. Poleni, ne s'imprime-t-elle pas? Mr. Poleni lui meme m'en a demandé mon sentiment, mais le moyen de le contenter si je ne vois pas sa piece?

La separation trouvée par Mr. Clairaut et Fontaine, de mon equation $adx+bdy=(ydx-xdy)y^{p}x^{q}$, est très juste en faisant $y=$${\frac {t}{az+b}}$, et $x={\frac {zt}{az+b}}$; on en tire effectivement ${\frac {dt}{tp+q+2}}={\frac {z^{q}dz}{(az+b)^{p+q+2}}}$, mais non pas (comme Vous avés ecrit, peutetre par mégarde) $={\frac {z^{p}dz}{(az+b)^{p+q+2}}}$. On peut venir à bout de la separation sans adopter deux nouvelles indeterminées $t$ et $z$; une seule suffit: car faisant seulement $y=zx$, on parvient d'abord à une equation separable par des formules connues depuis longtemps. Mais comme la manière de trouver la separabilité des equations par de nouvelles indeterminées est purement tentative, sans savoir d'abord si elle reussira ou non, mon but étoit de construire l'equation telle qu'elle est sans employer d'autres indeterminées que les $x$ et $y$, à peu prés comme je l'ai pratiqué pour les equations canoniques dans le premier Tome des Memoir. de Petersb. Voici donc comme j'ai traité notre equation ici $adx+bdy=(ydx-xdy)y^{p}x^{q}$: Je prends d'abord les exposants $r$ et $s$ de $ax+by$ et de ${\frac {x}{y}}$, desquels je chercherai les valeurs, pour rendre le second membre integrable au moins par quadrature, ensuite je multiplie toute l'equation par $(ax+by)^{r}$, et je change successivement la forme du 2.^d membre d'une maniere convenable pour le reduire à une differentielle integrable, ce qui n'est pas difficile d'executer pour peu d'attention qu'on y fasse; en voici le procès: $(adx+bdy)\times (ax+by)^{r}=(ydx-xdy)y^{p}x^{q}\times (ax+by)^{r}=({\frac {ydx-xdy}{yy}})\times y^{p+2}x^{q}\times (ax+by)^{r}=d({\frac {x}{y}})\times y^{p+2}x^{q}\times (ax+by)^{r}={\frac {x^{s}}{y^{s}}}d({\frac {x}{y}})\times y^{p+s+2}x^{q-s}\times (ax+by)^{r}={\frac {x^{s}}{y^{s}}}d({\frac {x}{y}})\times ({\frac {ax^{\frac {q-s}{r}}}{y^{\frac {-p-s-2}{r}}}}+bx^{\frac {q-s}{r}}y^{1+{\frac {p+s+2}{r}}})^{r}$. Pour faire presentement que le terme posterieur $bx^{\frac {q-s}{r}}y^{1+{\frac {p+s+2}{r}}}$ devienne$=b$, je dois faire ${\frac {q-s}{r}}=0$ et $1+{\frac {p+s+2}{r}}=0$, ce qui me donnera $r=-p-q-2$ et $s=q^{r}$, les quels etant substitués dans le premier terme ${\frac {ax^{1+{\frac {q-s}{r}}}}{y^{\frac {-p-s-2}{r}}}}$ il devient$={\frac {ax}{y}}$ par la meme substitution dans le premier et dernier membre de l'equation changée, il resulte sans autre operation l'equation cherchée, savoir $(adx+bdy)\times (ax+by)^{-p-q-2}={\frac {x^{q}}{y^{q}}}d({\frac {x}{y}})\times ({\frac {ax}{y}}+b)^{-p-q-2}$; Si pour abreger on fait $ax+by=t$, et ${\frac {x}{y}}=z$, on aura ${\frac {dt}{t^{p+q+2}}}={\frac {z^{q}dz}{(az+b)^{p+q+2}}}$, qui est tout à fait conforme à celle de Mrs. Clairaut et Fontaine: en effet si par les positions $ax+by=t$ et ${\frac {x}{y}}=z$, on cherche les valeurs de $x$ et $y$ en $t$ et $z$, on trouvera $y={\frac {t}{az+b}}$ et $x={\frac {zt}{az+b}}$, tout comme ces Mrs. ont trouvé, peutetre seulement en tatonnant, au lieu que je le trouve par methode.

Je me sers de la meme methode pour integrer, sans recourir à la separation, cette formule generale $mydx+nxdy=(aydx+bxdy)y^{p}x^{q}$, dont le probleme de Mr. Herman proposé dans les Actes de Leipzic 1729, p. 361 n'est qu'un cas particulier et dont la solution à été donnée par feu mon fils Nicolas dans les Actes de 1720, p. 272 mais par plusieures autres methodes.

À propos de Mr. Herman savés Vous Monsieur que nous l'avons perdu? Il mourut l'onsieme du mois passé à l'age de 55 ans; une fievre chaude l'a enlevé en moins de 8 jours. Peu de temps auparavant mourut aussi Mr. le Professeur Scheuchzer à Zuric, grand Naturaliste et fort renommé dans la Repub. des Lettres par le grand nombre de ses ecrits, car c'étoit un homme infatigable et un de mes bons Amis: Il étoit aussi Correspondant de l'Acad. des Sciences, son age alloit à 61 ans. Quant à moi, j'ai commencé depuis avanthier ma 67.^e année, et je vis encore quoique plus vieux que ces deux Mrs; les infirmités qui m'accablent en foule m'exhortent à me preparer à les suivre peutetre plutot que je ne pense; J'ai surtout les mains si tremblantes, que je ne puis presque plus conduire la plume; vous le voyés bien par cette mechante ecriture. Quoiqu'il en arive je serai jusqu'à mon dernier soupir avec une estime et un attachement inseparable Monsieur Votre etc. J. Bernouli

Bale ce 9. Aoust 1733.

P. S. Ayant fini cette lettre, j'en reçois une de mes fils dattée de Dantzic du 25. Juillet st. a.: ils me marquent qu'ils partirent de Petersbourg par eau le 5^e du dit mois; c'est à dire qu'ils employerent 20 jours à vaguer sur mer depuis Petersbourg jusqu'à Dantzic, dont la distance n'est guerre plus grande que les ${\frac {2}{3}}$ de Lubec à Petersbourg, que le cadet en y allant avoit parcouru en 9 jours. Ils ajoutent qu'ils repartiront de Dantzic en quelques jours sans dire si ce sera par mer ou par terre, et qu'ils iront en Hollande d'où ils m'ecriront encore une fois: Que de là ils prendront tout droit la route de Paris. Ainsi je compte que Vous verrés mes Aventuriers au commencement du mois de Septembre: mais cela depend du vent et du séjour qu'ils feront peutetre en Hollande. Je Vous prie Monsieur de ne leur rien dire de ma piece, s'ils ne vous en parlent pas les premiers; Je vous en dirai ma raison.

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Fussnoten

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