1732-11-27 Bernoulli Johann I-Maupertuis Pierre Louis Moreau de

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Autor	Bernoulli, Johann I, 1667-1748
Empfänger	Maupertuis, Pierre Louis Moreau de, 1698-1759
Ort	Basel
Datum	1732.11.27
Briefwechsel	Bernoulli, Johann I (1667-1748)
Signatur	Basel UB, Handschriften. SIGN: L Ia 662, Nr.27
Fussnote	Am Briefkopf eigenhändig "à Mr. de Maupertuis". Ebenso das zweite P.S.

Monsieur

Ma derniere du 9.^e de ce mois etoit pour Vous donner avis du depart de Mr. Deuchert qui a bien voulu se charger de la Grammaire Chinoise, j'espere que vous l'aurés reçue le petit Dictionaire ou plutot vocabulaire y est joint en forme d'apprendice: Je ne sçai pas encore le prix de ce livre, mon fils en passant par Paris à son retour de Petersb. supposé qu'il en parte l'année prochaine comme il m'a ecrit pourra Vous le dire s'il veut. Selon l'apparence il y a dans cette Grammaire quelque chose de philosophique, car je me souviens d'avoir remarqué en la feuilletant que l'Auteur fait mention de la Dyadique des Chinois dont a parlé Mr. Leibnits et que l'Auteur cite.

Votre derniere lettre est du 10.^e datée le lendemain de la mienne: Vous raisonnés juste sur le conseil que je Vous avois demandé, si je dois parler ou non du Memoire de Mr. de Mairan: J'ai pris le parti d'exposer mes dificultés sur son systeme, mais d'une maniere honnete et assaisonnée d'expressions civiles dont il ne pourra pas se facher; Quand j'aurai achevé mon Discours, je prendrai la liberté de vous l'envoyer de bonne heure par le Canal de Mr. d'Onsenbrai, afin que vous y puissiés faire les corrections et changemens que vous trouverés necessaires tant pour la langue que pour les choses memes: Car je ne voudrois choquer personne soit par des barbarismes que je commettrai en grand nombre en ecrivant en votre langue, soit par de nouvelles opinions qui pourroient peutetre offenser quelques uns de Mrs. les Commissaires. Il est vrai ce que Vous dites, que le suffrage de Mr. de Mairan n'est que la 5.^e partie de ce qui peut donner ou oter le prix; cela est bon, si j'etois assuré des 4 autres suffrages ou au moins de trois, au quel cas je pourrois me passer du 5.^e; mais supposé le cas que 2 fûssent pour et 2 contre moi, sans doute le 5.^e donneroit tout le poids, ainsi je ferois mal de le negliger par un faux pas. Ne craignés pas, Mr. qu'en donnant mon Essai d'un systeme general du Monde, Votre ouvrage qui va paroitre n'en ait à souffrir. Car je ne condamnerai pas le systeme de Mr. Newton, au contraire j'en embrasse le plus essentiel, comme les gravitations des Planetes vers le soleil en raison reciproque doublée des distances, les orbites elliptiques, le centre des forces au foyer des ellipses, les aires centrales proportionelles aux temps etc. Je ne jette les tourbillons à la façon Cartesiene, j'y en substitue d'autres seulement pour eviter le vuide et les attractions qui sont les deux ecueils dans la Philosophie de Newton, en un mot je tacherai de reformer l'un et l'autre des deux systemes pour les consilier ensemble et pour en faire un nouveau, afin de satisfaire au geometrique qui manque dans le systeme de Descartes, et aux principes de physique reçus qui manquent dans le systeme de Newton. Je crois que Votre but tend principalement à traiter votre matiere en Geometrie, or je n'ai garde d'y contre dire, tout ce que je pretends faire c'est d'expliquer les phénomenes celestes par des principes intelligibles sans recourir au vuide ni aux attractions; enfin mon Discours sera purement physique, tel qu'on le demande dans la Question de l'Academie, en sorte que Vous n'avés pas lieu d'en aprehender pour Vos savantes meditations qui sentiront sans doute plus le Geometre que le Physicien; Ce n'est pas seulement la Rotation des Planetes, où les Newtoniens sont obligés de recourir immediatement au Doigt de Dieu, sans pouvoir alleguer aucune raison phisique pour quoi la rotation se fait et pourquoi en chacune elle se fait d'occident en Orient; il y a encore d'autres faits où les Newtoniens n'ont rien à alleguer si non la pure volonté de Dieu, par ex. le mouvement annuel des Planetes au tour du Soleil, qui se fait constamment d'Occident en Orient sous le Zodiaque, quoique le vuide semble permettre que les Planetes se meuvent en tout sens autour du Soleil; Mr. Newton reconnoit formellement et il avoue que le principe de cette uniformité est quelque chose de surnaturel, et au contraire il n'a aucune raison à donner pourquoi les Cometes ne suivent pas aussi cette direction commune des Planetes, chacune d'Elles ayant presque sa direction particuliere; pour moi je tacherai de rendre une raison assés plausible de ces deux phenomenes, par où il paroitra pourquoi les Cometes n'obeissent pas au principe qui dirige le mouvement annuel des Planetes.

Je passe aux deux problemes et au solutions que Vous en donnés et que Vous me proposés à examiner; le premier, dites Vous a été envoyé à Paris par Mr. Cramer mais sans dire s'il l'a resolu Lui meme; Le second vient de Vous à l'imitation du premier: L'un et l'autre n'ont pas besoin qu'on employe les 2.^es differ. en sorte que je m'etonne que Mr. Clairaut et son Ami les ayent employés sans necessité. A la verité ces problemes m'ont paru au premier aspect tout à fait extraordinaires et trés difficiles, mais voyant la facilité avec la quelle Vous en trouvés les solutions belles et ingenieuses, j'ai d'abord pensé qu'on pouroit meme abreger la methode du calcul, n'employant que deux lettres indeterminées pour les coordonées rectangles, avec une petite adresse d'integrer sans faire la separation; Voici, comme je m'y prends en me servant de Votre figure [Figur folgt], dont Vous aurés sans doute gardé copie: Soit pour le Probl. 1 l'abscisse $CP$ de la courbe coupante$=x$, son appliquée $PM=y$, une constante arbitraire $=a$, la raison donnée de $MF$ à $FG$ comme $n$ à 1. On aura donc $CM={\sqrt {}}(xx+yy)$, $ME=dx$, $EN=dy$, $MN={\sqrt {}}(dx^{2}+dy^{2})$, $FN=d$, $(CM)={\frac {xdx+ydy}{{\sqrt {}}(xx+yy)}}$, $MF={\sqrt {}}(MN^{2}-FN^{2})=$${\frac {xdy-ydx}{{\sqrt {}}(xx+yy)}}$. Or etant $n.1::MF.FG$ on aura $FG={\frac {xdy-ydx}{n{\sqrt {}}(xx+yy)}}$. Et à cause des triangles semblables $CPM$, $NFG$, on a $CP(x).PN(y)::FN({\frac {xdx+ydx}{{\sqrt {}}(xx+yy)}}).GF({\frac {xdy-ydx}{n{\sqrt {}}(xx+yy)}})::nxdx+nydy.xdy-ydx$, ce qui donne cette equation $nxydx+nyydy=xxdy-xydx$, ou bien $(n+1)xydx-xxdy=-nyydy$; pour rendre cette equation integrable sans separer les indeterminées, je la multiplie par ${\frac {+2}{1+n}}y^{\frac {-3-n}{1+n}}$ et j'aurai $2xy^{\frac {-2}{1+n}}dx-{\frac {2}{1+n}}xxy^{\frac {-3-n}{1+n}}dy={\frac {-2n}{1+n}}y^{\frac {-1+n}{1+n}}dy$, dont l'integrale me donne $xxy^{\frac {-2}{1+n}}=a^{\frac {2n}{1+n}}-y^{\frac {2n}{1+n}}$, ou $xx=a^{\frac {2n}{1+n}}y^{\frac {2}{1+n}}-yy$, ou $xx+yy=$$a^{\frac {2n}{1+n}}y^{\frac {2n}{1+n}}$, et pretant $a^{n}y=(xx+yy)^{\frac {n+1}{2}}$, conformément à ce que Vous avés trouvé moyennant les substitutions de Vos lettres $t$ et $h$. La courbe tournante se construit maintenant sans faire aucun calcul.

Car soit la courbe coupante $CDM$ construite selon l'equation trouvée; [Figur folgt] du centre $C$ et d'un rayon indeterminé $CD$ soit decrit l'arc de cercle $DLB$, qui coupe la droite $CN$ tirée arbitrairement pour l'axe de la courbe tournante au point $L$. On prendra par tout l'arc $LB$ à l'arc $DL$ comme 1 à $n$; La courbe $CBG$ qui passe par touts ces points $B$ sera la tournante cherchée. La demonstration est claire d'elle meme. On voit par là d'un coup d'oeil que si $n=1$ la tournante $CBG$ sera la meme que la coupante $CDM$, savoir chacune la circonference de cercles égaux.

Je resous aussi Votre second probleme sans employer d'autres lettres que $x$ et $y$ qui signifient les coordonnées rectangles de la courbe coupante: Car gardant encore Votre figure et faisant $MN.NG::m.1$, l'on aura $NG={\frac {1}{m}}MN={\frac {1}{m}}{\sqrt {}}(dx^{2}+dy^{2})$; Donc à cause des triangles $GNF$, $NCQ$ semblables, il faut faire $NG$ ou ${\frac {1}{m}}{\sqrt {}}(dx^{2}+dy^{2}).NF$ ou ${\frac {xdx+ydy}{{\sqrt {}}(xx+yy)}}::CN$ ou ${\sqrt {}}(xx+yy).CQ$ ou $x$, d'où on tire cette equation $xdx+ydy={\frac {1}{m}}x{\sqrt {}}(dx^{2}+dy^{2})$, et en prennant les quarrés $xxdx^{2}+2xydxdy$$+yydy^{2}={\frac {1}{mm}}xx(dx^{2}+dy^{2})$, ou $(mm-1)xxdx^{2}+2mmxydxdy+mmyydy^{2}=$$xxdy^{2}$; Mais afin que je puisse extraire la racine du premier membre, je transporte le $mmyydy^{2}$ de l'autre coté et ensuite j'ajoute à chaque membre ${\frac {m^{4}}{mm-1}}yydy^{2}$, cela fait que j'aurai $(mm-1)xxdx^{2}+2mmxydxdy+{\frac {m^{4}}{mm-1}}yydy^{2}=xxdy^{2}+{\frac {mm}{mm-1}}yydy^{2}$; multipliés par $mm-1$, il vient $(mm-1)^{2}xxdx^{2}+(2m^{4}-2mm)xydxdy+m^{4}yydy^{2}=(mm-1)xxdy^{2}+mmyydy^{2}$; Le premier membre étant un quarré parfait, je tire la racine de chaque membre, ce qui me fournit cette equation $(mm-1)xdx+mmydy=dy{\sqrt {}}({\overline {mm-1}}xx+mmyy)$ et partant $dy=$${\frac {(mm-1)xdx+mmydy}{{\sqrt {}}({\overline {mm-1}}\cdot xx+mmyy)}}$ ce qu'étant integré on aura $y={\sqrt {}}({\overline {mm-1}}\cdot xx+mmyy)-a$, la reduction aux rationels donnera enfin l'equation finale $xx+yy-{\frac {2ay}{mm-1}}={\frac {aa}{mm-1}}$, qui est precisément la meme que la votre $xx+yy-2by$$=(mm-1)bb$ car votre $b$ est chés moi ${\frac {a}{mm}}$. D'où on voit à la verité que la courbe coupante est toujours un cercle, quelque soit la nature de la courbe tournante; c'est sans doute quelque chose de singulier: Mais comme la tournante a une depandance avec la coupante, celleci peut bien demeurer toujours la meme pourvû que le point varie d'où les coordonalés prennent leur commencement, car cette variation peut deja causer que les Tournantes soient de differente nature entre elles; on pourroit donner des exemples semblables en d'autres occurences. Pour la construction de la tournante, il n'y a qu'à prendre la valeur de l'angle elementaire $GCF$, c'est à dire, de ${\frac {GF}{CG}}$, et la comparer à $dz$ element d'un arc de cercle dont le rayon $=1$; Retenant donc les lettres $x$ et $y$, je fai $xy::NF$ ou ${\frac {xdx+ydy}{{\sqrt {}}(xx+yy)}}\cdot {\frac {xydx+yydy}{x{\sqrt {}}(xx+yy)}}=GF$; et ainsi ${\frac {GF}{CG}}={\frac {xydx+yydy}{x^{2}+xyy}}=$ (en mettant pour $xx$ sa valeur $(mm-1)bb+2by-yy$) ${\frac {ydy}{(2y+{\overline {mm-1}}b)\cdot {\sqrt {}}({\overline {mm-1}}bb+2by-yy)}}=dz$; qui se construit par des arcs de cercle, et qui est un peu plus simple que la Votre exprimée par $t$. Voila mes meditations sur Vos deux problemes, mais qui m'ont bien couté un quart de semaine de mon temps au lieu d'un quart d'heure comme Vous dites. Ma tete devient dure, il me faut toute la patience du monde, pour me bien imprimer seulement le sens de la question, sur tout quand je suis distrait d'autres pensées, comme je le suis à cet heure plus que je ne souhaite.

Je ne savois pas la mort de Mr. Taylor, mais je la supçonois de ce que son Nom ne se voyoit plus dans la Liste des Academiciens, que mon Neveu, que Vous avés vu à Paris, avoit apporté d'Angleterre, il faut donc qu'il soit déja mort depuis plus d'un an puisqu'il y a pour le moins autant que mon Neveu partit d'Angleterre. Quoiqu'il soit du temps, Taylor est mort, c'est une espece de fatalité que mes Antagonistes meurent avant moi, touts plus jeunes que moi; il est le 6^e de ceux qui sont morts depuis environ une quinzaine d'années, les voici touts, Parent, Keil, Hartsoeker, Clark, Taylor et de Louville en dernier lieu, il y en a peutetre encore d'autres, dont la mort n'est pas parvenu à ma connoissance, touts ces Messieurs m'avoient attaqué et harzelés, les un plus que les autres, sans que je leur aye fait du mal, il semble que le ciel veuille venger le tort qu'ils m'ont fait.

J'oubliois de vous mander dans ma derniere le reproche que mon Fils m'a deja fait plusieurs fois de la part de leur Academie, et qu'il repeta dans sa derniere lettre, disant que Mrs. ses Collegues se formalisent de ce qu'il ne me voyent nulle part me donner le titre de membre de l'Academie de Petersb., ils croyent que c'est par mepris que je ne la joints pas aux autres Academies de Paris, de Londres et de Berlin; ce soupçon mal fondé ne vient que de la Connoissance des Temps, où ils trouvent toujours le titre d'academiciens de Petersb. omis parmis les autres qu'on m'y donne; j'ai beau repondre à mon fils, que ce n'etoit pas ma faute, il revient toujours à la charge: il y a plus d'un an que j'en ai ecrit à Mr. de Mairan, qui m'a repondu qu'il y remedieroit, mais il ne l'a pas fait: Quant à moi, je me moque de touts ces vains Titres, mais pour oter à Mrs. de Petersb. le sujet de mecontentement, je serois bien aise que dans la Connoissance des Temps pour l'année prochaine on mit mon simple nom en suppriment la double qualité de membre des Societés de Londres et Berlin, si tant est qu'on a peut etre quelque raison pour ne vouloir pas faire mention de l'Acad. de Petersb., de cette maniere je serai hors de blâmme et n'en serois pas moins connu dans le Monde. Je n'ai plus rien à Vous dire, si non que je suis à jamais avec le plus parfaite estime et sincerité Mr. Votre. ec.

Bâle ce 27. 9bre 1732.

P. S. Je rouvre ma lettre pour Vous dire que je viens de recevoir la votre du 19.^e de ce mois, qui m'apprend que Vous avés reçu la Gramaire Chinoise: Mr. Moula partit la semaine passée pour Neuchatel pour y regler ses affaires; il repassera par Bale vers Noël pour aller à Berlin: Quand il sera ici je n'oublierai pas, de lui donner de votre part le présent destiné d'un Louis d'or neuf; c'est beaucoup pour peu de chose qu'il a travaillé pour Vous.

J'attens avec impatience Votre ouvrage, que vous me promettés.

PP. SS. Voici qu'on m'annonce la mort de Mad.^me de Grandvillars, qui mourut hier au soir: Faites le savoir Monsieur à Mrs. ses Fils, car il est bon qu'ils le sachent.

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Fussnoten

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