1732-11-02 Bernoulli Johann I-Clairaut Alexis Claude

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Autor	Bernoulli, Johann I, 1667-1748
Empfänger	Clairaut, Alexis Claude, 1713-1765
Ort	Basel
Datum	1732.11.02
Briefwechsel	Bernoulli, Johann I (1667-1748)
Signatur	BS UB, Handschriften. SIGN: L I a 673, fol.194-195
Fussnote	Eigenhändige Korrekturen und Zusätze. Am Briefkopf eigenhändig "à Mr. Clairaut" sowie eine alte Nummer "70". Entwurf

Monsieur

J'ai été empeché de repondre plutot à Votre agreable Lettre par une fluxion sur la poitrine, dont je ne suis pas encore bien retabli: Vous voyés par là que je n'ai pas mal fait en Vous conseillant de differer Votre voyage de Bale jusqu'au Printemps, car Vous auriés eu peu de satisfaction auprés de moi pendant la Saison dans laquelle nous entrons et qui me cause ordinairement des incommodités; plût à Dieu que j'en fusse quitte pour celle que je viens d'essuyer.

Enfin j'ai lû Vos deux belles solutions avec beaucoup de plaisir, je les trouve conformes aux miennes; Quant à la premiere où Vous determinés la courbe à double courbure sur une surface courbe donnée, je vois que la methode dont Vous Vous servés est à l'imitation de celle que j'employai dans les mémoires de 1718 pour les Isoperimetres, où je montre la maniere de trouver ces courbes presque sans calcul, au lieu qu'il en avoit couté à feu mon Frere une peine de calculer imense. Si Vous avés le dessein de publier Votre solution, Vous ne feriés pas mal à ce qui me semble de faire quelque petit avertissement pour prevenir l'equivoque, par ex. quand Vous dites soit nommé la difference de $z$, $dy\varphi ey$ ... et soit exprimé de meme la difference de ${\textrm {F}}eyz$ par $dy\varphi eyz$, il faudroit insinuer que par ce $dy$ Vous n'entendés pas encore l'élement $Km$, mais que jusqu'ici Vous considerés les trois elements $MR$, $RM$, $Sn$ comme des grandeurs finies par rapport à $dy$, qui est la difference de la variable $Rm$. Car c'est ainsi que Vous le prenés jusqu'à l'endroit où Vous dites Il faut regarder cette equation seulement comme exprimant une proprieté de la courbe et tacher d'en tirer une equation entre $x$, $y$, et $z$ etc.

Je remarque outre cela une petite inadvertence, commise sans doute en transcrivant Votre solution; c'est que dans la page penultieme de ce qui regarde cette solution il faut ecrire $\varphi ab$ au lieu de $\varphi bc$ comme Vous avés ecrit en 8 differen[ts] endroits. Pour ce qui est au reste de cas particulier de ce probleme, où il s'agit de tirer la plus petite ligne sur une surface courbe donnée, j'ai encore une autre methode independente de la nature du minimum, mais qui est fondée sur ce que la courbe cherchée doit avoir cette proprieté, qu'un plan qui passe par 3 points infiniment proches doit étre toujours perpendiculaire au plan qui touche la surface courbe dans un de ces 3 points. Mr. de Maupertuis pourroit Vous communiquer ce[tte m]ethode. Il est vrai qu'elle est un peu plus di[fficile,] mais elle est utile en d'autres cas où la generale ne peut pas etre appliquée, comme par ex. si on demandoit une courbe à double courbure sur une surface courbe donnée, donc le plan passant par 3 points infiniment proches quelconque ait une inclinaison donnée avec le plan qui touche la surface dans un de ces points, soit que cette inclinaison soit constante par ex. de 60 degrés, ou qu'elle soit variable suivant une loi donnée.

Votre solution Monsieur du second probleme sur les Epicycloides spheriques est aussi tres elegante, j'en suis charmé et je ne doute nullement que Vous ne la trouviés conforme à la mienne, tirée du mem[e] fondement, excepté que la Votre est plus analytique et la mienne plus geometrique. Je vois avec etonnement, que Vous étes en état de resoudre les problemes qui donneroient de la besoigne aux plus habiles Analystes et où les plus versés et les plus habitués dans les calculs pourroient se tromper, comme il est arrivé en effet à Mr. Herman, qui a commis dans sa solution de ce meme probleme un grand paralogisme. Ce seroit donc bien sous Votre manuduction que je devrois me perfectioner dans la sublime Analyse; si j'etois moins agé je Vous prierois volontiers de me donner des leçons au lieu que Vous m'en demandés, soyés persuadé que c'est sans flatterie que je parle de la sorte. Permettés que je Vous indique quelques petites meprises faites en hatant d'ecrire: Vous nommés le rapport de $GB$ à $BE=n$, au lieu de nommer le rapport de $BE$ à $GB=n$; le denominateur $r$ de la fraction ${\frac {radx-naxdx-ardx+xrdx}{r}}$ doit étre multiplié par ${\sqrt {}}(bb-(x-a)^{2})$ pour avoir ${\frac {radx-naxdx-ardx+xrdx}{r{\sqrt {}}(bb-(x-a)^{2})}}={\frac {{\frac {r-an}{r}}xdx}{{\sqrt {}}(bb-(x-a)^{2})}}$ .

Au coroll. 4 Vous dites si l'on avoit fait $n=1$, on auroit eu etc. mais il falloit ecrire $a=-1$. Tout le reste va bien. L'inverse de ce probleme, qui est de trouver sur la surface Spherique une cour[be] qui soit ensemble algebrique et rectifiable, demande un peu plus d'adresse, nous l'avons resolu Mr. de Maupertuis et moi, et j'en ai fait l'application à un cas particulier par un calcul algebrique: l'un et l'autre Vous sera également facile. J'ai l'honneur d'étre avec une veritable estime Monsieur Votre etc. J. Bernoulli

Bâle ce 2. 9bre 1732

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Fussnoten

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