1732-05-25 Bernoulli Johann I-Maupertuis Pierre Louis Moreau de

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Autor	Bernoulli, Johann I, 1667-1748
Empfänger	Maupertuis, Pierre Louis Moreau de, 1698-1759
Ort	Basel
Datum	1732.05.25
Briefwechsel	Bernoulli, Johann I (1667-1748)
Signatur	BS UB, Handschriften. SIGN: L I a 662, Nr.21
Fussnote	Am Briefkopf eigenhändig "à Mr. de Maupertuis"

à Mr. de Maupertuis

Monsieur

Votre derniere lettre du 14 de ce mois me fait voir que Vous étes dans une etrange inquietude à cause d'une fatalité qui a voulu que ma solution du Probleme des Courbes rectifiables sur la surface spherique etc. Vous fut livrée le meme jour que Votre precedente lettre contenant Votre solution du meme Probleme avoit eté envoyée à la poste; Et comme les deux solutions sont dans le fond tirées d'une meme methode, Vous craignés vainement que cette identité ne me cause le soupçon comme si la Votre eut eté copiée sur la mienne. Non, Monsieur je n'ai jamais eu cette pensée, rassurés Vous donc et quittés Votre inquietude: il etoit entierement inutile de faire une si longue deduction pour me prouver que Vous aviés fait remettre Votre lettre à la poste avant d'avoir receu la mienne, car je me figurois d'abord toutes les raisons de ce hazard aussi naturellement que Vous me les exposés. Ne Vous ai je pas dit dans ma penultieme lettre, que ce Probleme n'etoit pas à beaucoup prés aussi terrible que Vous aviés crû? ce n'est pas une merveille non plus, que nous soyons tombé l'un et l'autre sur la meme maniere de traiter ce Probleme, puisqu'il y a longtems qu'elle nous est commune; Vous n'avés qu'à repasser sur ce que je Vous ai communiqué autrefois touchant la methode de tirer la plus courte ligne sur la surface d'un conoide donné, mis en ecrit par Mr. de Klingenstiern. Vous y trouverés dans l'exemple 3.^e cette equation $dx={\frac {abdy}{y{\sqrt {}}({\overline {yy-bb}}\times {\overline {an-yy}})}}$ aussi reduite à un arc de cercle, et semblable à celle que nous avons traittée dans l'occasion presente, ainsi cela ne Vous etoit plus rien de nouveau. Cependant quelque identité qu'il y ait dans nos methodes, on y trouve pourtant une difference considerable par rapport à l'execution, en ce que Vous reduisés fort adroitement Votre equation $dx={\frac {dy{\sqrt {}}(Myy-1)}{y{\sqrt {}}(1-yy)}}$ à deux tangentes d'arcs de cercle au lieu que j'ai reduit la mienne $dx={\frac {dy{\sqrt {}}(mmyy-1)}{y{\sqrt {}}(1-yy)}}$ à deux sinus, je Vous avoue que le tour que Vous avés pris me paroit plus beau et plus ingenieux que celui que j'ai suivi et qui est vulgaire. Le seul papier de Mr. Clairaut, qui fait mention de Votre solution, est plus que suffisant pour Vous rendre temoignage, que Vous la lui aviés au moins communiquée avant la reception de ma lettre; pourquoi donc Vous allarmer sur un soupçon si mal fondé d'encourir auprés de moi le risque de passer pour plagiaire? Vous, dis-je, qui etes si scrupuleux à ne vouloir pas Vous approprier ce qui a la moindre apparence que je puisse y avoir eu un peu de part: Il faut que Vous ayés mauvaise idée de mon equité et plus mauvaise confience en ma sincerité; faites moi réparation d'honneur, ou bien je me facherai tout de bon contre Vous. Vous avés raison, Monsieur, de dire que le calcul pour reduire les nos courbes à des equations algebriques sans arcs est plus difficile que la solution; aussi etoit ce mon principal but de montrer comment il falloit operer pour parvenir aux equations aprés avoir trouvé le rapport des arcs, et de faire voir en meme tems combien ce calcul devient penible dans les differents cas, ou que celui de $m=2$, qui paroit bien etre le plus simple, exige deja un calcul fort embarassant. Mais qui est ce qui auroit crû que toutes ces courbes se construiroient si aisément par le moyen des epicycloides spheriques, si je n'eusse montré dans mon premier ecrit, que parmi ces epicycloides il y en a dont les arcs sont à leurs projections en raison donnée, et partant qui sont justement les courbes que le Probleme demande.

Après mes compliments reciproques à Mr. Clairaut, Vous lui dirés que je suis charmé de ses solutions pour le Cone; voici cependant mes remarques là dessus; La premiere qu'il donne pour un Cone dont l'equation est $xx=nyz$ suppose un Cone droit et rectangle; ainsi c'est le cas des cones le plus limité. La seconde solution est plus generale, servant pour un Cone dont l'equation est $xx=nyz+ryy$, qui comprendroit toutes les espéces de cone si on y laissoit $n$ et $r$ dans leurs etendues generales, mais comme il est obligé de trouver un certain rapport entre $n$ et $r$, il est visible que cette solution n'est pas encore assés generale pour un cone quelconque. Quant à la troisieme solution, qu'il pretend servir à touts les cones droits pourvû que le coté du cone soit au rayon de sa base en raison de nombre à nombre, où il veut qu'on deploye la surface conique en secteur plan circulaire, sur lequel on tire une ligne droite ou une courbe algebrique et rectifiable quelconque, qu'en suite on reploye ce secteur dans sa premiere surface conique, pour avoir, dit-il la courbe cherchée sur cette surface: Mais je croi, qu'il se trompe, car la courbe qui est algebrique sur un secteur circulaire, ne le sera plus lorsque ce secteur sera reployé en surface de cone: pour en etre convaincu il n'a qu'à chercher l'equation algebrique entre les trois coordonnées $x$, $y$, $z$, il verra bientot qu'il lui sera impossible d'en trouver une, et que par consequent la courbe qui se fait par le reployement n'a plus la quallité d'etre algebrique, il est vrai qu'on en peut determiner et construire algebriquement une infinité de points, mais elle ne laisse pas d'etre transcendente, tout comme la quadratrice de Dinostrate, dont on peut assigner algebriquement tant de points que l'on voudra, non obstant que la courbe elle meme soit transcendente comme Vous savés aussi bien que moi. La quatrieme solution de Mr. Clairaut, trouvée par la methode que nous avons employée pour la sphére, est tres bonne et generale pour touts les cones droits. Je ne doute pas qu'il n'y ait d'autres fonctions integrables d'y que celleci ${\frac {Bydy}{{\sqrt {}}(cc-yy)}}$, qui donnent $x$ en arc de cercle; mais mes frequentes occupations ne me laissent pas le loisir de m'amuser à cette recherche.

Vous avés Monsieur trop peu de confiance en vos forces lorsque Vous croyés que Vous ne resoudrés jamais le probleme du pendule pliable chargé de differents poids; essayés le avant que de perdre courage, le bon succés du probleme de la sphére Vous doit apprendre, que ce qui est à la portée des autres n'est pas hors de la Votre: ainsi je ne veux pas Vous prevenir encore une fois en Vous envoyant ma solution, dans le tems que Vous la trouverés peutetre aussi, ce qui Vous causeroit une nouvelle mortification. Mais je Vous communiquerai ma methode pour cette recherche, lorsque Vous m'aurés dit positivement, que malgré Votre application Vous n'y avés pas reussi; il y a bien plus de plaisir à trouver quelque chose par lui meme que de l'apprendre d'un autre. Si Mr. de Thiancourt est encore à Paris Vous aurés la bonté de lui faire bien mes compliments en le remerciant de son bon souvenir; il me semble qu'il y a un tems infini que je ne l'ai pas vû ici, a-t-il fait voeux de ne plus voir sa Patrie? Ne Vous a-t-il pas dit la raison de sa longue absence? Je suis du plus profond de mon coeur...

Bale ce 25.^e May 1732

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Fussnoten

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