1732-05-12 Maupertuis Pierre Louis Moreau de-Bernoulli Johann I

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Autor	Maupertuis, Pierre Louis Moreau de, 1698-1759
Empfänger	Bernoulli, Johann I, 1667-1748
Ort	Paris
Datum	1732.05.12
Briefwechsel	Bernoulli, Johann I (1667-1748)
Signatur	Basel UB, Handschriften. SIGN: L Ia 662, Nr.21*
Fussnote	Beilage mit Bleistiftvermerk am Briefkopff "de M. Clairaut joint à la L. d. M. de Maup. du 12 May". Der Umschlag des Konvolutes weist einen Vermerk von der Hand Joh. III B.s auf: "avec un ecrti mathe. de Clairaut, au 12 Mai 1732"

Monsieur

Comme ma derniere lettre etoit en routte, j'eus l'honeur de recevoir la vostre du 13 Avril. Je suis bien sensible à l'amitié que m. votre fils m'a toujours temoignée à Basle et encor en partant pour Petersbourg où j'aurois grand regret de le voir aller si je ne pensois que ce voyage luy peut etre utile. Quand vous recevrés de ses nouvelles, je vous prie de m'en faire part. Je conserveray toute ma vie beaucoup d'amitié pour luy.

Nos vacances viennent de finir et nous n'avons encor employé nos assemblées qu'à relire les pieces qui ont eté leues à l'assemblée publique: je crois bien que m. de Meyran n'entendra pas la reponse à m. de Louville sans mot dire et qu'il nous cherchera des faux fuiants: Mais pourveu que les gens equitables pensent comme nous, il faut laisser crier les autres. Je n'ay point veu ce qu'on a fait en Angleterre contre vous si ce n'est l'experience de m. Graham. Je prends la liberté de vous repeter que je n'ay jamais douté que la mesme quantité de force se conservât dans la nature et il me semble que ma lettre de janvier ne dit rien qui fasse croire que j'en aye douté. Au contraire je croyois cette conservation si necessaire, que je disois que je n'hesiterois pas à prendre pour la force ce que je trouverois qui demeureroit toujours constant dans les differentes combinaisons du mouvement. Il est bien vray qu'on trouve que c'est le produit des masses par le quarré des vitesses; mais il me semble que le denombrement que fait m. Bulffinger des fonctions qu'il prend n'est pas suffisant pour demontrer qu'il n'y a que celle là qui subsiste inalterablement; et qu'ainsy l'on pourroit admettre le principe, mais dire qu'il y a peut etre d'autres fonctions de masses et de vitesses qui se conservent, et que l'on auroit le mesme droit de prendre pour la force vive, si on ne la tiroit que de cette consideration. Voila ce que j'ay voulu dire dans la lettre que vous rappellés.

Je me suis monsieur enhardy à chercher une courbe algebrique et rectifiable sur la surface de la sphere et voicy ce que j'ay fait sur cela; faittes moy la grace de me dire si j'ay reussy; car je crains toujours de me tromper lorsque j'entreprends des problemes que vous avés creu dignes de vous.

Soit $ABDE$ un grand cercle de la sphere [Figur folgt] dont le rayon $=1$, l'arc $AB=x$, $CP$, l'ordonnée de la projection de la courbe qu'on cherche, $=y$, $Pp$ perpendiculaire au plan de la projection $=z$, $QR=dy$, $PR=ydx$, et l'equation de la sphere $zz=1-yy$. Cela pose.

La longueur de la courbe sur la surface spherique dependra de la longueur de la courbe de projection $PQ$, si $dy^{2}+yydx^{2}=mdz^{2}$; ou (mettant pour $dz^{2}$ sa valeur ${\frac {yydy^{2}}{1-yy}}$ tirée de l'equation de la sphere) $dy^{2}+yydx^{2}={\frac {myydy^{2}}{1-yy}}$. Cette courbe de projection est toujours rectifiable et $=A-{\sqrt {m-myy}}$. Reste à faire qu'elle soit algebrique.

L'on a $dx={\frac {dy{\sqrt {}}((m+1)yy-1)}{y{\sqrt {}}(1-yy)}}$, ou $dx={\frac {dy{\sqrt {}}(Myy-1)}{y{\sqrt {}}(1-yy)}}$ qui doit etre la diff[erentielle] d'un angle. Soit ${\frac {{\sqrt {}}(1-yy)}{{\sqrt {}}(Myy-1)}}=z$, $y={\frac {{\sqrt {}}(zz+1)}{{\sqrt {}}(Mzz+1)}}$ , $dy={\frac {(1-M)zdz}{(Mzz+1)^{\frac {3}{2}}\times {\sqrt {}}(zz+1)}}$; et l'on a $dx={\frac {(1-M)dz}{(Mzz+1)\times (zz+1)}}={\frac {({\frac {1}{M}}-1)dz}{(zz+{\frac {1}{M}})\times (zz+1)}}={\frac {dz}{1+zz}}-{\frac {dz}{{\frac {1}{M}}+zz}}$; ou $dx={\frac {dz}{1+zz}}-{\sqrt {M}}\cdot {\frac {{\sqrt {\frac {1}{M}}}dz}{{\frac {1}{M}}+zz}}$. D'où l'on voit que la courbe sera algebrique lorsque ${\sqrt {M}}$ sera un nombre rationel.

Voicy un papier que m. Clairaut à qui j'avois parlé de cela vient de m'envoyer. Il me prie de vous presenter ses respects. Notre amy m. de Thiancourt est icy qui m'a chargé de la mesme commission. Je l'ay reveu avec grand plaisir. Voicy l'annonce pour le prix de 1734 quoy que je croye que m. de Meyran vous l'a deja envoyée. Je suis avec respect Monsieur Votre tres humble et tres obeissant serviteur Maupertuis.

de Paris lundy. 12 May. 1732.

Pour trouver une courbe rectifiable et Geometrique sur la surface d'un Cone je prens l'equation la plus simple d'un cone qui est $xx=nyz$ et je cherche une courbe de projection sur le plan des $x$ et des $y$ telle qu'elle me donne ${\sqrt {}}(dx^{2}+dy^{2}+dz^{2})$ qui est l'element de l'arc d'une courbe à double courbure egal à une quantité integrable. Je prens par exemple pour l'equation de la courbe de projection sur le plan des $x$ et des $y$, $axx=y^{3}$ qui etant substituée donne $z={\frac {yy}{na}}$ et par consequent $dz={\frac {2ydy}{na}}$ et $dz^{2}={\frac {4yydy^{2}}{nnaa}}$ qui etant ajouté à $dx^{2}+dy^{2}$ que je sçais etre ${\frac {9ydy^{2}+4ady^{2}}{4a}}$ donne ${\sqrt {}}(dx^{2}+dy^{2}+dz^{2})=dy{\sqrt {}}({\frac {9}{4a}}y+1+{\frac {4yy}{nnaa}})$. Pour que cette quantité soit integrable je donne une valeur à $n$ telle que la quantité qui est sous le signe soit un quarré c'est à dire ${\frac {16}{9}}$, ce qui donne ${\sqrt {}}(dx^{2}+dy^{2}+dz^{2})=dy({\frac {3y}{2a}}+{\frac {9}{8}})$ qui est integrable.

Voici encore une façon de trouver des courbes rectifiables sur des cones qui a cet avantage sur celle ci qu'elle en donne sur une infinité d'especes de cones dont il y en d'obliques et de droits.

Je prens l'equation du cone $xx=nyz+ryy$ et la meme courbe de projection $axx=y^{3}$ d'où l'on a $dx^{2}+dy^{2}={\frac {9ydy^{2}+4ady^{2}}{4a}}$, et $z={\frac {yy}{na}}-{\frac {r}{n}}y$, $dz={\frac {2ydy}{na}}-{\frac {rdy}{n}}$, $dz^{2}={\frac {4yydy^{2}}{nnaa}}-{\frac {4rydy^{2}}{nna}}+{\frac {rrdy^{2}}{nn}}$ et ainsi ${\sqrt {}}(dx^{2}+dy^{2}+dz^{2})=dy{\sqrt {}}({\frac {9y}{4a}}+1+{\frac {4yy}{nnaa}}-{\frac {4ry}{nna}}+{\frac {rr}{nn}})$ qui sera integrable en donnant à $n$ ou à $r$ une valeur telle que la quantité qui est sous le signe soit un quarré.

Je n'ai pas cherché d'autres courbes rectifiables sur la surface des cones, mais il y a grande apparence que la simplicité des equations des cones en pourra faire trouver d'autres.

On peut trouver des courbes geometriques et rectifiables fort aisement sur une infinité de cones droits pourvû que le rapport du coté du cone au rayon de la base soit de nombre à nombre. Pour cela on n'a qu'à deployer la surface du cone de façon qu'elle devienne un secteur et decrire sur ce secteur une courbe geometrique et rectifiable ou meme une ligne droite et reployer ensuite le secteur sur la surface du cone, et la courbe geometrique et rectifiable se transportera en une courbe aussi geometrique et rectifiable.

Depuis que vous m'avés communiqué Votre ingenieuse façon de trouver de ces sortes de courbes sur une sphere j'ai imaginé cette manière d'en avoir sur tous les cones droits.

Soit le cone $BCA$ dont la base soit le cercle $BC$ et l'axe $AD$,[Figur folgt] $N$ un point quelconque de la courbe que je cherche et $NM$ une perpend. sur le plan $BCD$, $DMC$ un rayon passant par $M$, soit appellé $BC$, $x$, $DM$, $y$, $CD$, $r$, $NM$, $z$, le rapport de $CD$ à $DA$, ${\frac {1}{m}}$ on aura ${\frac {z}{m}}+y=r$ pour l'equation du cone, $MR={\frac {ydx}{r}}$ et le petite cote de la courbe de projection sur le plan $BCD={\sqrt {}}({\frac {yydx^{2}}{rr}}+dy^{2})$. Mais on a $z=mr-my$ et par consequent $dz=-mdy$ donc l'element general de toutes les courbes decrites sur le cone est ${\sqrt {}}({\frac {yydx^{2}}{rr}}+(mm+1)dy^{2})$ que j'egalerai à une fonction composée d'y qui soit integrable et qui donne $x$ en arc de cercle. Je prens pour cette fonction ${\frac {Bydy}{{\sqrt {}}(cc-yy)}}$ et j'ai ${\frac {yydx^{2}}{rr}}+(mm+1)dy^{2}={\frac {BByydy^{2}}{cc-yy}}$ d'où l'on tire $dx={\frac {rdy{\sqrt {}}((BB+(mm+1))yy-(mm+1)cc)}{y{\sqrt {}}(cc-yy)}}$ qui est une equation de la meme nature que celle que vous avés pour votre courbe dans la sphere et que vous avés reduite à des arcs de cercles.

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Fussnoten

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