1731-04-01 Bernoulli Johann I-Maupertuis Pierre Louis Moreau de

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Autor	Bernoulli, Johann I, 1667-1748
Empfänger	Maupertuis, Pierre Louis Moreau de, 1698-1759
Ort	Basel
Datum	1731.04.01
Briefwechsel	Bernoulli, Johann I (1667-1748)
Signatur	Basel UB, Handschriften. SIGN: L Ia 662, Nr.8
Fussnote	Am Briefkopf eigenhändig "à Mr. de Maupertuis". Nach Signatur und vor P.S. eigenhändige Bemerkung: "Je porte encore comme anciennement le Nom de Bernoulli Prof. des mathema. à Bâle". Nach dem P.S. eigenhändig "la fin suivra bien tot"

Monsieur

Je suis bien aise d'aprendre que V.^e Traduction de la piéce sur les Tautochrones s'est retrouvée; Je devois sans doute Vous envoyer séparément la lettre dont j'avois accompagné le paquet, afin que Vous sûssiés l'envoy, pour pouvoir le retirer; Je m'en souviendrai pour une autre fois. Je vois avec chagrin que l'experience hydraulique dont je Vous avois prié de faire faire l'execution par quelqu'un de vos Faiseurs d'experiences, Vous donne beaucoup plus de peine que je ne croyois, car je m'imaginois que ce seroit une affaire d'un quart d'heure; ainsi je Vous prie de ne Vous en plus mettre en peine; Je me souviens que le tuyau dont mon fils s'étoit servi n'avoit que $2{\frac {1}{2}}$ pouces de long et un diamétre de 3 lignes dans le creux; c'étoit je crois pour eviter le frottement qu'il prenoit un tuyau si court. Il en plongea la moitié dans l'eau contenue dans un seau qui devoit représenter le fluide infini; il lia un fil autour du tuyau avant que de faire l'experience, lequel fil devoit servir de marque, pour faire voir aux Spectateurs que l'eau remonteroit dans le tuyau aprês la premiére descente, à la hauteur qu'il avoit prédite par son raisonnement: Il faut savoir qu'au commencement le tuyau étoit entierement plein d'eau et partant $1{\frac {1}{4}}$ de pouces au dessus du niveau de l'eau exterieure.

Je passe maintenant à V.^e Lettre du 11. Mars, qui me trouva incommodé encore d'un reste de ma goutte, sans cela je me serois appliqué plútôt à examiner V.^e belle piéce sur la figure d'un sphéroide fluide qui tourne sur son axe etc. quoique selon le conseil de mon Medecin je deusse congédier pour toujours les fortes applications de l'esprit, comme trop nuisibles à la constitution foible de mon corps. Mais quand il s'agit de Vous faire plaisir M.^r les conseils du medecin n'ont pas chez moi la force de loi: Voici donc une reponse sur tout ce que Vous me demandés dans la dern.^e lettre: avant que d'entrer en matiére il faut que je Vous remercie, tant de la peine que Vous avés deja prise de traduire ma piece et de la lire à l'Acad.; que de celle que Vous promettés de prendre de la correction afin qu'elle paroisse sans fautes d'impression.

Je ne pense pas qu'il manque la moindre chose à l'art. 25, Cor. 2 où je dis, "si $m=\infty$, sed $n=$finito, erit $r$ seu $n\ell ({\frac {mm+2n}{2n}})=\infty$; sed ${\frac {2nn}{mm}}\ell ({\frac {mm+2n}{2n}})=0$ etc.". Vous me demandés si je puis dire que cette quantité est $=0$, si je n'ai fait voir que $mm$ est infini par rapport à $\ell ({\frac {mm}{2n}})$; Je m'étonne que cette bagatelle Vous ait arreté, Vous qui possedés cette matiére en Maitre. Ne savés Vous donc pas que dans la Logarithmique le raport des ordonnées aux abscisses augmente à l'infini, à mesure qu'elles s'éloignent de l'unité ou de la premiére ordonnée? Vous devés savoir aussi que le Logarithme étant nommé $x$, son nombre sera = cette suite $1+{\frac {x}{1}}+{\frac {xx}{1\cdot 2}}+{\frac {x^{3}}{1\cdot 2\cdot 3}}+{\textrm {etc.}}$ Or si $x$ est infini il est visible que cette suite est infinie (et méme infinie de tous les degrés) par raport à $x$; car deja le troisiéme terme ${\frac {xx}{1\cdot 2}}$ est infini par raport à $x$, le quatriéme ${\frac {x^{3}}{1\cdot 2\cdot 3}}$ infiniment infini etc. Donc si $mm$ signifie un nombre ou une quantité infinie, il doit étre aussi infiniment plus grand que son logarithme $\ell (mm)$, quoiqu'aussi infini.

Ce seroit de la matiére pour M.^r de Fontenelle. Quant à la question que Vous me faites qui est de savoir si dans l'hypothése de Parent il faut que ce soit la pression multipliée par le petit tems qui fasse une quantité constante ou bien la pression divisée par la vitesse, afin que dans son sens la courbe eprouve toujours la méme pression, c'est une question de fait, à laquelle je ne saurois repondre, ce seroit à Parent lui méme qu'il faudroit demander ce qu'il a entendu par la mesure de la pression; Si Vous ne pouvés pas le deviner en lisant son memoire comment voulés Vous que je le devinerai? Est ce que j'entends mieux V.^e langue que Vous ne l'entendés Vous méme?

Tout ce que Vous dites M.^r sur le Memoire de M.^r de Mairan touchant l'estimation des forces est bien sensé; Ainsi je souscris volontiers à V.^e jugement, je crois comme Vous qu'il a affecté d' écrire un Memoire qui fut long et obscur en méme tems pour eviter les Lecteurs; On voit evidemment qu'il n'a point d'idée de la force vive, ou plutôt qu'il fait semblant de n'en point avoir, car après tout ce que je lui ai dit dans mes Lettres particuliéres, (quoiqu'il ait grand soin de le suprimer dans son Memoire) il est presque impossible d'ignorer le veritable sens que nous donnons au mot de force vive, cependant il le prend de travers à tout moment, comme si de propos deliberé il eut pris à tâche d'étouffer la verité de peur qu'elle ne triomphât sur l'erreur populaire; Il ne veut pas, dites Vous, en entendre parler quand Vous voulés le mettre sur cette affaire; M.^r Cramer et quelques autres m'ont dit la mème chose qu'ils ne pouvoient jamais l'attirer dans une conversation raisonnée sur le sujet en question: n'y a-t-il pas là à soupçonner un peu de mauvaise foi de la part de M.^r de Mairan? Un tel homme sans doute ne peut pas étre converti, car il n'ignore pas qu'il est dans l'erreur, mais il a honte de le confesser, ainsi il seroit inutile de refuter le Memoire de M.^r de Mairan, tant par raport à l'autheur qui s'est proposé fermement de persister dans l'erreur, que par raport au contenu du Mem., qui à cause de son obscurité et inintelligibilité me paroit irrefutable.

Je ne dis rien sur l'autre grand Mem. de M.^r de Mairan, qu'il donna en 1720 sur la figure de la Terre, après que je l'ai cité honorablement dans ma piéce qui m'a valu le prix, mais toujours d'une telle maniére qu'on voit bien que je n'aprouve pas pour cela tous ses raisonnements.

Je Vous renvoye M.^r V.^e Ecrit touchant la solution de ce problème, je l'ai lue et examinée avec toute l'attention et je l'ai trouvée trés bonne, claire et digne d'étre rendue publique; je n'y ai rien corrigé que quelque petites fautes de plume que Vous trouverés par ci par là. Vous n'entendés rien dites Vous à la methode que M.^r Newton a suivie; j'ai l'essayé de l'entendre, pour cette fin j'ai lù et relù ce qu'il a écrit là dessus mais il m'est arrivé comme à Vous de n'y rien entendre; je ne sai si c'est peut étre la faute de mon impatience voyant qu'il citoit des choses qu'il avoit traité dans le premier livre, où je ne comprenois pas comment il en faisoit l'aplication, en un mot je n'y aperçois qu'obscurité et impenetrabilité; Je doute si M.^r Newton lui même a bien entendu tout ce qu'il a dit dans cet endroit, ayant souvent remarqué que quand il n'a pas bien pû se dépetrir d'une recherche qui l'embarassoit, il a cru qu'il lui êtoit permis de se jetter dans un Galimatias, et que les grands Mathematiciens tels que lui pouvoient s'arroger des licences en fait de raisonnement comme les grands Poëtes de profession tels que Virgile et Ovide se donnoient souvent des licences poëtiques; je veux dire que comme ces Poëtes se croyoient en droit de pecher contre la quantité de syllabes, ainsi aussi M.^r Newton se croyoit il en possession par son authorité de faire quelques fois violence à la saine raison. Au moins je defie Taylor, Pemberton et tous les autres Newtoniens outrès de donner un sens raisonable à tout le discours que M.^r Newton nous a laissé sur la determination de l'inégalité de l'axe et du diamètre de l'equateur de la Terre, car ce n'est que cela qu'il a entrepris d'executer sans se mettre en peine de determiner la figure entière du Meridien. Ne Vous inquiétés donc pas de ce que dans l'hypothése d'une pesanteur proportionelle à la distance au Centre V.^e solution Vous donne une proportion entre les deux axes differente de celle que M.^r Newton a trouvée; Votre methode est claire, mais celle de M.^r Newton est obscure, pourquoi donc balancer longtems entre le clair et l'obscur. La maniére dont M.^r Herman a traité cette matiére n'est pas differente de celle de M.^r Huguens; On peut dire que M.^r Herman a copié M.^r Huguens et en a emprunté les idées, mais que pour cacher le plagiat il a enveloppé l'invention de M.^r Huguens dans le voile de l'obscurité, se servant de détours longs et inutiles, methode ordinaire de ceux qui n'ayant rien de nouveau à produire tâchent de debiter la marchandise d'autrui aprés l'avoir rendue méconnoissable par quelque fard ou par quelque autre artifice. Les Canaux que M.^r Newton a introduits le premier et dont M.^r Huguens a fait un meilleur usage que M.^r Newton lui méme, ne sont autres choses que vos colonnes, car il n'y a qu'à concevoir ces colonnes comme renfermées dans le creux des tuyaux et elles réprésenteront justement les canaux de M.^r Newton, qui communiquant au centre $C$ et aboutissant à la surface du sphéroide aux points $A$ et $D$ [Figur folgt] font équilibre entre eux, tout comme Vous faites concourir vos colonnes $AC$, $DC$ au centre $C$ où elles se soutiennent par d'égales pressions qu'elles exercent l'une contre l'autre. Cependant je ne tiens pas pour moins ingenieuse la premiére methode de Mr. Huguens, qui est de son propre crù et independante de l'idée des canaux. Il l'explique p. 154, 155 du discours de la cause de la pesanteur, mais comme cette methode suppose celle des tangentes inverse, où il s'agit de trouver les lignes courbes par la proprieté donnée de leurs perpendiculaires ou de leurs tangentes, ainsi qu'il le dit lui mème p. 155 il a abandonné ou negligé cette methode comme une chose difficile pour ce tems là, quoique dans l'aplication à cet exemple il n'y ait aucune difficulté, parce qu'aprés l'operation d'un petit Calcul tout devient integrable de lui mème sans employer le moindre artifice. Le principe de cette methode consiste en ce que l'on doit supposer que la direction du fil qui soutient librement un plomb est perpendiculaire à la surface du sphéroide. J'en ai pris occasion de determiner d'une autre manière la figure du sphéroide, qui me paroit encore plus naturelle et plus facile que celle de Mr. Huguens; Là voici; Soit comme dans votre figure [Figur folgt] $APBQ$ le meridien du spheroide fluide, dont $PQ$ l'axe et $AB$ le Diamétre de l'équateur; Concevés tout le sphéroide divisé en couches, dont chaqune a la figure qu'il faut pour que le spheroide interieur que cette courbe termine conserve sa figure pendant qu'elle tourne autour de l'axe $PQ$, quand tout le fluide qui est hors de ce sphéroide interieur viendroit à l'aneantir en sorte qu'on auroit un nouveau sphéroide plus petit que le precedent mais dont la circonference qui passe par les axes auroit toujours une courbure d'une méme nature que la plus grande $APBQ$, étant causée par une méme loi d'attraction. Concevés maintenant, que du centre $C$ il parte une infinité de lignes courbes, telles que $CGD$, qui coupent toutes ces couches perpendiculairement ou plûtôt qu'elles fassent des angles droits avec tous les Meridiens par où elles passent depuis le centre $C$ jusqu'au Méridien extréme $APBQ$. Je nommerai ces lignes $DGC$ Courbes de tendences, parcequ'un corps mobile mis dans tel point $D$ que l'on voudra sur la courbe $DGC$, commencera ou tendra à se mouvoir ou à descendre selon la direction $Dc$ élément de $DGC$. Ainsi les Meridiens $APBQ$ grands et petits et les courbes de tendence ont cette relation entre elles que les unes sont les trajectoires orthogonales des autres et par conseq. la nature des unes étant trouvée, on trouvera aussi la nature des autres par les methodes que j'ai publiées autres fois.

Aprés cette préparation le Calcul n'est pas difficile: car nommant avec Vous le rayon de l'Equateur $AC=a$, la pesanteur au point $A=p$, , la force centrifuge dans le méme point $=f$. Tirés au point $D$ la droite $CD$, et soit nommée l'abscisse $CE=x$, l'ordonnée $ED=y$. La pésanteur au point $D$ vers $C$ soit $={\frac {p\cdot DC^{n}}{AC^{n}}}={\frac {p(xx+yy)^{\frac {n}{2}}}{a^{n}}}$. La force centrifuge en $D$ dans le parallèle à l'Equateur $={\frac {f\cdot ED}{cA}}={\frac {f\cdot y}{a}}$. Je decompose la pesanteur de $D$ vers $C$ en deux collaterales suivant $DE$ et $EC$, en faisant comme $DC({\sqrt {xx+yy}})$ est à $DE(y)$ ainsi ${\frac {p(xx+yy)^{\frac {n}{2}}}{a^{n}}}$ est à ${\frac {px(xx+yy)^{\frac {n-1}{2}}}{a^{n}}}=$ force de la pesanteur dans la direction $DE$ perpendiculaire à l'axe $PQ$. Et en faisant comme $DC({\sqrt {xx+yy}})$ est à $EC(x)$ ainsi ${\frac {p(xx+yy)^{\frac {n}{2}}}{a^{n}}}$ est à ${\frac {px(xx+yy)^{\frac {n-1}{2}}}{a^{n}}}=$ force de la pesanteur dans la direction parallèle à l'axe ou perpendiculaire au plan de l'Equateur. Mais de la force de la pésanteur dans la direction $DE$ perpendiculaire à l'axe, il faut rabattre la force centrifuge en $D$ qui est $={\frac {f\cdot y}{a}}$, il restera ${\frac {py(xx+yy)^{\frac {n-1}{2}}}{a^{n}}}-{\frac {fy}{a}}$, qui est la force laquelle combinée avec l'autre ${\frac {px(xx+yy)^{\frac {n-1}{2}}}{a^{n}}}$ perpendiculaire au plan de l'Equateur doit faire mouvoir le mobile dans la direction $Dc$. Donc tirant $cb$ parallèle à l'axe, qui coupe l'apliquée $DE$ en $a$, on aura $Da\cdot ac::{\frac {py(xx+yy)^{\frac {n-1}{2}}}{a^{n}}}-{\frac {fy}{a}}\cdot {\frac {px(xx+yy)^{\frac {n-1}{2}}}{a^{n}}}::py(xx+yy)^{\frac {n-1}{2}}-fa^{n-1}y\cdot px(xx+yy)^{\frac {n-1}{2}}$. Mais à cause de l'angle droit $bDc$ on a $ba\cdot aD::aD\cdot ac$. Mais entant que $CE$, $ED$ sont les coordonnées du Meridien $ADP$, leurs differentielles seront $ba=-dx$, et $ad=dy$, (j'ecris $-dx$ parceque les appliquées $ED$ croissent, les abscisses $CE$ decroissent); Ainsi on aura $-dx\cdot dy::aD\cdot ac::py(xx+yy)^{\frac {n-1}{2}}-fa^{\frac {n-1}{2}}y\cdot px(xx+yy)^{\frac {n-1}{2}}$; Les deux produits des moyens et extrémes donnent cette Equation $pydy(xx+yy)^{\frac {n-1}{2}}-fa^{\frac {n-1}{2}}ydy=-pxdx(xx+yy)^{\frac {n-1}{2}}$, ou bien ${\overline {pydy+pxdx}}$$\times (xx+yy)^{\frac {n-1}{2}}-fa^{\frac {n-1}{2}}ydy=0$; Ce qui étant integré j'aurai ${\frac {p}{n+1}}(xx+yy)^{\frac {n+1}{2}}$$-{\frac {1}{2}}fa^{n-1}ydy=$ à une constante; pour savoir ce que l'on doit prendre pour cette constante, on remarquera que $x$ ou $CE$ etant 0, on aura $y$ ou $ED=a$, ainsi le ${\frac {p}{n+1}}(xx+yy)^{\frac {n+1}{2}}$ degenére en ${\frac {p}{n+1}}a^{n+1}$ et le ${\frac {1}{2}}fa^{n-1}yy$ en ${\frac {1}{2}}fa^{n+1}$, cette constante est donc ${\frac {p}{n+1}}a^{n+1}-{\frac {1}{2}}fa^{n+1}$, c'est à dire, ${\frac {(2p-nf-f)a^{n+1}}{2n+2}}$. Ainsi l'Equation rectifiée sera ${\frac {p}{n+1}}(xx+yy)^{\frac {n+1}{2}}-{\frac {1}{2}}fa^{n-1}yy={\frac {(2p-nf-f)a^{n+1}}{2n+2}}$, ou bien, $2p(xx+yy)^{\frac {n+1}{2}}-(n+1)fa^{n-1}yy=(2p-nf-f)a^{n+1}$, Equation entiérement conforme à la Vôtre, exprimée à la fin de votre écrit. Si on veut determiner le raport de $CP$ à $CA$, il n'y qu'à suposer $y$ ou $ED=0$ et l'Equation trouvée se change en celleci $2px^{n+1}=(2p-nf-f)a^{n+1}$, ce qui donne $Ca^{n+1}\cdot CP^{n+1}::2p\cdot 2p-nf-f$, et partant $CA\cdot CP::{\overline {2p}}^{^{\frac {1}{n+1}}}\cdot {\overline {2p-nf}}^{^{\frac {1}{n+1}}}$. Pour ce qui est de la Courbe de tendence $CGD$, on la trouve par les differentes methodes que Nous donnâmes autres fois pour les Trajectoires.

La pensée, que Vous donnés dans le Scholie sur la Generation de l'anneau de Saturne, est assez jolie; mais je crois qu'elle sera plus goutée à Londres qu'à Paris. Vous croyés donc M.^r, que cet anneau n'est autre chose que la matiére dont étoit composée la queue d'une comète. Cela êtant il faut que cet anneau ait fort peu de solidité, car la queue d'une Comète est d'une matiére si rare et si transparente, que l'on voit au travers d'elle les êtoiles fixes avec la méme facilité, que s'il n'y avoit rien entre d'eux, comme je l'ai remarqué moi méme dans la fameuse Comète qui parut sur la fin de l'année 1680 et au commencement de la suivante 1681. Cependant l'anneau de Saturne ou sa partie exposée au Soleil jette une Ombre assez épaisse sur le globe de cet astre, comme ont observé M.^r Huguens et d'autres astronomes, ce qui ne pourroit pas arriver, si la matière de l'anneau n'étoit autre chose que le reste d'une queue de Comète qui n'auroit pas assez d'opacité à cause de son extrème rareté, pour jetter une ombre si foncée, comme celle que l'on observe sur le disque de saturne causée par l'anneau.

Vous voyés M.^r par la mechante êcriture que j'ai la main fort pésante et comme Vous savés tremblante; ce qui fait que la peine d'écrire me fatigue beaucoup. Encore un mot avant que de finir: Dans le tems que la goutte me tourmentoit le plus, je réçûs une Lettre de M.^r Clairaut où il me dit, qu'il m'enverra un Livre de sa façon qui venoit de sortir de dessous la presse, sur les Courbes qui ne se peuvent tracer que sur les surfaces courbes, me priant de Lui en dire mon sentiment quand je l'aurai lû; Je lui ai fait repondre par mon fils, que je ne manquerai pas de le lire aussitôt qu'il me parviendra, et que je lui dirai ensuite ce que j'en jugerai; mais qu'en attendant il n'auroit qu'à s'adresser à Vous pour savoir preallablement mon Jugement sur son Livre, parceque Vous connoissés parfaitement mon gout en matiére de geométrie, qui ne sera pas différent du Votre. Dites moi donc ce que Vous pensés de cet ouvrage et s'il repond à la haute idée que les savants de Paris ont conçuë de son Auteur, beaucoup au delà de son age.

Je suis toujours avec une Veritable Estime Mr. ... J. Bernoulli

Bàle ce 1. Avril 1731.

Je porte encore comme anciennement le Nom de Bernoulli Prof.^r des Mathem. à Bâle.

P. S. On m'a écrit ces jours passés, qu'on avoit vû le titre d'un livre imprimé en Angleterre, qui étoit écrit pour me refuter, sans me dire sur quel sujet. Si par hazard Vous avés vù ce livre, Vous aurés la bonté de me dire sur quoi il me refute, et s'il a de bonnes raisons pour me refuter, ou si c'est par envie qu'on le fait, parceque tout ce que je donne au jour deplait terriblement aux Adversaires Anglois. Est ce peutétre ma piéce victorieuse les Orbites des Planétes, qui a excité la plume de quelque Partisan zelé de M.^r Newton pour deffendre ses raisonnements que j'attaque: En ce cas je laisserai à mes juges le soin de repondre à mon refutateur; car leur jugement fait en ma faveur me sert de garantie contre les aggresseurs. Je Vous envoye avec cette Lettre les Cahiers que M.^r Moula aura faits, contenant la suite de mes Meditations sur les Corps qui glissent etc., la fin suivra bien tot. Le paquet deviendra gros; mais Vous le voulés ainsi M.^r. Cependant je ne sais si la matiére en vaut le port.

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Fussnoten

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