Maupertuis, Pierre Louis Moreau de an Bernoulli, Johann I (1731.01.02)

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Autor	Maupertuis, Pierre Louis Moreau de, 1698-1759
Empfänger	Bernoulli, Johann I, 1667-1748
Ort	Paris
Datum	1731.01.02
Briefwechsel	Bernoulli, Johann I (1667-1748)
Signatur	BS UB, Handschriften. SIGN: L I a 662, Nr.7*
Fussnote

Monsieur

Voila la traduction que j'ay faitte de votre piece que je vous prie de vouloir bien corriger et me renvoyer ensuitte afin que je la lise à l'Academye où elle recevra asseurement les applaudissements qui luy sont deus. J'ay pris les mesures necessaires pour qu'elle soit imprimée dans les Mem. de 1730 quoyqu'elle ne soit leue qu'au commencement de l'année prochaine. Puissies vous monsieur nous donner encor pendant longtems pareilles etrennes et puisse votre corps pendant ce tems là jouir d'une sancté et d'une vigueur pareille à celle de votre esprit; tous autres souhaits que je pourrois faire me paroissent au dessous de vous, il ne vous faut que de la vie et de la sancté pour jouir à longs traits de la reputation de premier geometre du monde. Permettés moy monsieur d'etendre mes souhaits sur toute une famille que je respecte infiniment. Je luy fais deja le plus grand souhait de tous en vous souhaittant une vie aussy longue que l'utilité dont vous etes au monde le demanderoit.

Je tombay l'autre jour sur un memoire de m. Parent (1708, pag. 224) où il pretend que la cycloide a cette proprieté, que la pression qu'elle souffre d'un corps qui descend sur elle est toujours en raison reciproque du sejour que fait ce corps sur chacune de ses parties; ce qui feroit regarder la cycloide comme une courbe d'egale pression lorsque l'on auroit egard au tems dans l'effect de la pression. Je n'examine point si l'on doit raisonablement faire entrer le tems dans la consideration de la pression; mais il me semble qu'il se trompe en attribuant cette proprieté à la cycloide; et que la courbe dont il est question devant etre, telle que la pression tant de la pesanteur que de la force centrifuge, multipliée par le tems que le corps employe à parcourir l'Element de la courbe fasse toujours une quantité constante.

Si je fais $PM=x$, $PQ=dy$, $MN=ds$, le rayon de la developpée $MR=$ (en faisant $dy$ const.) ${\frac {ds^{3}}{-dyddx}}$, la pesanteur $=p$; [Figur] je trouve pour la condition de la courbe, $({\frac {pdy}{ds}}-{\frac {2pxdyddx}{ds^{3}}}){\frac {ds}{\sqrt {x}}}=mpdy$; ou ${\frac {dx}{x}}-{\frac {2dxddx}{dy^{2}+dx^{2}}}={\frac {mdx}{\sqrt {x}}}$ ou enfin $dy={\frac {c^{m{\sqrt {x}}}dx}{{\sqrt {}}(x-c^{2m{\sqrt {x}}})}}$. Pour construire cette courbe, [Figur] je quarre la courbe $ef$ dont l'Abscisse $ag=x$ et l'ordonnée $fg={\frac {c^{m{\sqrt {x}}}}{\sqrt {x-c^{2m{\sqrt {x}}}}}}$; et j'ay l'aire $bgfe=y$.

Prenant $x$ tel que ${\frac {Lx}{\sqrt {x}}}=2m$ l'on determine l'abscisse $ab$ de la courbe $ef$ à laquelle repond l'Asymptote $be$. L'on determine de la mesme maniere la premiere ordonnée $AB$ dans la courbe d'egale pression. Je trouve que cette courbe à son origine en $B$ est parallele à l'horisontale $AP$; et qu'elle a un poinct d'inflex. lorsque $x={\frac {1}{mm}}$. Tout cela sauf erreurs de calcul et de raisonnement M. Parent ne s'attache qu'à la courbe où la pression est comme la vitesse; et considerant le probleme sous cet aspect, si je cherche à part la courbe où la pression qui resulte de la seule pesanteur est comme la vitesse, je tombe tout d'un coup sur la cycloide, car j'ay ${\frac {dy}{ds}}=m{\sqrt {x}}$ ou $dy={\frac {mdx{\sqrt {x}}}{\sqrt {1-mmx}}}$; Si je cherche ensuitte la courbe où la force centrifuge est comme la vitesse, je trouve $-{\frac {2xdyddx}{ds^{3}}}=m{\sqrt {x}}$, d'où je tire encor facilement $dy={\frac {mdx{\sqrt {x}}}{{\sqrt {}}(1-mmx)}}$; Donc la courbe où ces deux forces jointes ensemble sont comme la vitesse est la cycloide; et c'est ainsy apparemment que l'aura trouvé m. Parent que je ne crois pas qui ait eté un grand integrateur.

Mais lorsque je cherche a priori la courbe où la somme de la force normale et de la force centrifuge est comme la vitesse j'ay ${\frac {dy}{ds}}-{\frac {2xdyddx}{ds^{3}}}=m{\sqrt {x}}$, dont je vous avoue que je n'ay peu tirer la cycloide.

Il y a longtems que j'attends de jour en jour l'occasion du pacquet que m. de Meyran vous envoye. C'est ce qui fait que vous recevés si tard et mes souhaits et ma traduction. Si j'eusse cru que cela fust si long je vous l'eusse envoyée directement. Pour ce qui est monsieur des pacquets que vous m'envoyés, n'en craignés point la grosseur; plus ils sont gros et plus ils me font de plaisir et si la poste vouloit profiter du cas que j'en fais elle me les pourroit faire payer bien cher. Je vous prie donc de vouloir bien me communiquer toujours vos nouvelles découvertes; quoy qu'elles soient destinées à ne trouver jamais que des admirateurs elles ne scauroient cependant tomber entre les mains de personne qui en sente mieux le prix. Je suis avec beaucoup de respect Monsieur Votre tres humble et tres obeissant serviteur Maupertuis

de paris mard. 2. jan. 1731

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Fussnoten

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