Bernoulli, Johann I an Volder, Burchard de (1698.07.07)

Kurzinformationen zum Brief mehr ...
Autor	Bernoulli, Johann I, 1667-1748
Empfänger	Volder, Burchard de, 1643-1709
Ort	Groningen
Datum	1698.06.27
Briefwechsel	Bernoulli, Johann I (1667-1748)
Signatur	Basel UB, Handschriften. SIGN: L Ia 675:Bl.161-162
Fussnote	Am Briefkopf eigenhändig: "Dno. Voldero"

Vir Clarissime et Celeberrime Fautor Honoratissime

Ecce mitto ut promiseram enodationem difficultatis paulo ante discessum meum a Te motae contra infinitorum methodum. Vix posueram pedem in Scapham Hagam^[1] petens cum missis distractionibus, quibus Tecum colloquens adhucdum detinebar, anguem in herba latentem detegerem, videremque in eo laborare objectionem Tuam quod quantitatem aliquam ad quam non attendisti tanquam nihil neglexeris cum tamen revera non modo sit aliquid finiti sed ipsa prorsus infinita ut jam patebit ([Ita] praeter propter argumentabaris): Sint [Figur folgt]^[2] $AG$ , $AM$ asymtoti hyperboles $FCL$ cujus natura (positis $AB=x$ , $BC=y$ ) exprimitur per hanc aequationem $xxy=a^{3}$ ; Constat subtangentem $BO$ esse $={\frac {1}{2}}AB$ : Ergo si $CN$ parallela ipsi $AB$ producatur ad $E$ ita ut $NE$ sit $=BO$ seu dimidiae $AB$ , idemque si fiat ubique generabitur nova hyperbola $IQE$ cujus areae elementum $En$ erit aequale prioris elemento correspondenti $Cb$ ; unde elementis in summam collectis erit area quaevis $NRQE$ , aequalis areae correspondenti $SBCP$ : optime! hoc omnes concedent: Ast cum $AS$ sit arbitraria (porro inferebas) ubicunque enim sit punctum $S$ semper erit $SBCP=NRQE$ , poterimus ponere $AS=0$ , unde sequitur totum spatium asymtoticum in infinitum extensum $GABCF$ aequale fore toti alteri spatio asymtotico pariter in infinitum extenso $GNEI$ ; interim cum ubique $NC$ , $RP$ etc. sint duplae ipsarum $NE$ , $RQ$ etc. adeoque et ipsum spatium $GNCF$ sit duplum spatii $GNEI$ , erit potiori jure sp. $GABCF$ saltem Duplum spatii $GNEI$ ac proinde haec duo spatia non possunt esse aequalia, contra prius ratiocinium, quomodo agitur hac concilianda? hic ni fallor est sensus objectionis Tuae; ad quam ut breviter respondeam, velim consideres, $AS$ nunquam posse assumi absolute $=0$ , nam punctum $P$ semper existere debet in hyperbola nunquam vero in asymtoto $AG$ ; et quamvis in infinitum intelligatur removeri a puncto $C$ ita ut ad asymtoton data quavis assignabili propius accedat, distantia tamen in ipso infinito non omnino evanescet sed erit aliquid licet infinite exigua: Hocque clarum est ex eo quod solidum [sub] $PS$ et $ASq.$ constanti cubo $a^{3}$ aequari debet; id vero fieri non posset nisi utraque tam $AS$ quam $PS$ esset aliquid reale, etenim ex non quanto seu ex absolute nihilo multiplicato per quantitatem licet infinitam, non potest produci aliquid. His bene intellectis, nego jam sequi ex priori ratiocinio spatium $GABCF$ aequari spatio $GNEI$ : quippe exinde nihil aliud concludi potest quam quod assumta $AK$ infinite parva et ducta $KH$ asymtoto parallela, fieri debeat spatium $GNEI$ aequale spatio $HKBCF$ : id quod minime absurdum est, nullamque contradictionem implicat quin potius probitatem calculi differentialis et integr. egregie confirmat; quoniam enim ex [postremo] ratiocinio spatium $GNCF$ seu $GABCF$ duplum est spatii $GNEI$ , hoc vero ut modo ostensum aequale spatio $HKBCF$ , sequitur $GABCF$ duplum esse ipsius $HKBCF$ ideoque $GAKH$ (id est rectangulum sub abscissa infinite parva $AK$ et applicata infinita $KH$ ) = spatio $HKBCF$ = (addita quantitate finita $MBCL$ ad infinitam $HKBCF$ ) $HKMLCF$ ; At generaliter verum est (notantibus id etiam jam pridem Robervallio, Cavallerio, Paschalio, Fermatio, Wallisio aliisque) quod per calculum integralium facillime invenitur, rectangulum scilicet sub abscissa $AS$ et applicata $PS$ aequari spatio hyperbolico $MSPCL$ . Interim mirum Tibi videri non debet neve methodus differentialium ideo suspecta quod rectangulum $AKH$ latitudinis infinite exiguae $AK$ reperiatur aequale spatio infinito $HKMLCF$ , siquidem hoc rectangulum revera infinitum esse non obstante quod habeat latitudinem infinite parvam patet ex ipsa aequatione ad hyperbolam $xxy=a^{3}$ , quae resoluta in proportionem dat $x.a::aa.xy$ , unde si $x$ seu $AK$ sit infinite parva id est infinities minor quam Determinata et finita $a$ , erit pariter $aa$ seu quadratum finitum infinities minus quam $xy$ proindeque $xy$ seu rectangulum $AKH$ revera est infinitum. Haud aliter judicandum de omni alia hyperbola $x^{n}y=a^{n+1}$ , quotiescunque enim $n$ unitate major est, difficultas Tua semper occurrit, nempe quia tunc semper rectangulum $AKH$ evadit infinitum et comparabile cum spatio $HKBCF$ , adeoque minime negligendum; sed contra quotiescunque $n$ unitate minor vel eidem aequalis, tunc cessat objectio, quoniam scilicet rectangulum $AKH$ nunc fit infinite parvum vel finitum et incomparabile spatio $HKBCF$ adeoque tuto negligi potest. Unde vides et vel hoc nomine genuinam esse responsionem quam hic dedi ad difficultatem Tuam; non dubito quin sit Tibi satisfactura. Recolligam quae Leibnitium inter et me agitata fuere diu, circa aestimationem virium ex motu corporum deducendarum, eoque utut bene multa sint per amanuensem describi curabo, Tibique si optaveris ocyus transmittam, ut videre possis quid me tandem post longas contentiones permoverit ad transeundum^[3] in illius partes non enim^[4] temere nec ut viri gratiam inirem in veteratam opinionem desereri. Hic iterum gratias solvo singulares pro multis benevolentiae Tuae signis, quibus me cum apud vos agerem ultra meritum cumulasti. Vale et fave T. Deditissimo J. Bernoulli