Bernoulli, Johann I an Burnet, William (1709.01.09)

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Autor	Bernoulli, Johann I, 1667-1748
Empfänger	Burnet, William, 1688-1729
Ort	Basel
Datum	1709.01.09
Briefwechsel	Bernoulli, Johann I (1667-1748)
Signatur	Basel UB, Handschriften. SIGN: L Ia 654, Nr.3
Fussnote	Autographe Korrekturen. Am Schluss eigenhändige Bemerkung: "Inseratur hic copia Solutionis Craigianae habetur in litteris Cl. Moyvraei datis d. 6. Julj 1708. Londini."

Bâle ce 9. Jan. 1709.

Monsieur

Je Vous aurois cherché à Rome, si l'honneur de vôtre derniere du 28 du passé ne m'en eut desabusé, me donnant à connoitre que Vous étés encore dans nôtre voisinage ce qui me fait bien du plaisir, d'autant plus que vous me faites esperer de Vous revoir bientot ici: effectivement je ne sçaurois concevoir pourquoy preferer Geneve à Bâle, est ce pour y apprendre la Langue françoise? Vous la sçavez deja mieux, qu'on ne l'y parle, est ce pour Vous y exercer dans l'etude de Theologie? je crois que nous avons pour le moins d'aussy excellens Theologiens icy qu'à Geneve; est ce peutetre quelque charme qui Vous y retient? alors je ne dis rien, si non que je crains que les Mathematiques n'auront pas assez d'attraits pour vous faire quitter ce qui vous possede, au moins pas plus que le pays d'Italie, dont vous apprehendez les guerres peut etre par affectation. Mais pour venir à nôtre sujet, j'ay lû et relû les reponses de Mr. Craig à mes objections; je vous demande à Vous meme si ces responses Vous contentent, Mr. Verzaglia à qui j'ay montré Votre lettre, et qui Vous fait ses complimens, fut d'abord de mon sentiment, disant que Mr. Craige fait voir qu'il reconnoit son erreur, mais qu'il tache de l'amolir, par quelque adoucissement car en effet il prend le change et ne repond pas directement aux objections, il dit dans son imprimé que lorsque ${\frac {m+r-e}{mn-rm-en}}$ est un nombre entier et positif, la figure sera quarrable; et moi j'ay dit que cela n'étoit pas generalement veritable puisqu'il y avoit une infinité de cas, où non obstant cette condition de ${\frac {m+r-e}{mn-rm-en}}=$ à un nombre entier et affirmatif, la Figure sera dependante de l'Hyperbole et partant inquarrable. Maintenant Mr. Craige convaincu de sa precipitation aime mieux dire que l'Hyperbole est quarrable contre la maniere de parler de tous les Mathematiciens qu'avouer qu'il s'étoit mepris en n'exceptant pas comme il le devoit faire de sa formule generale les cas qui deduisent à l'hyperbole: Il est bien vray que ${\frac {y^{n}+1}{n+1}}$ est l'expression generale de toutes les figures des courbes dont l'equation est $z=y^{n}$; mais s'ensuit il pour cela, je vous prie, que l'Hyperbole est quarrable? et celuy qui voudroit dire que toutes les figures $z=y^{n}$ sont quarrables sans aucune exception, ne feroit il pas la meme absurdité, que s'il vouloit dire generalement que tous les animaux sont des bêtes, sans en excepter les hommes, qui font aussy une partie (quoique la plus petite) des animaux. Il en est à peu prés de meme de l'autre reponse que Mr. Craige fait à mon autre objection: Il a dit dans on imprimé que le nombre des termes qui expriment l'aire est $={\frac {m+r-e}{mn-rm-en}}+1$; je vous ay fait voir que ce nombre peut devenir infini et que par consequent le nombre des termes selon Mr. Craige, seroit aussy infini et partant l'aire inquarrable, quoique on en peut assigner la quadrature en termes finis; Mr. Craige repond là dessus que tous les termes s'evanouissent dans sa progression excepté le premier; mais je vous prie, n'est ce pas cela prendre le change? je ne Luy nie pas que sa progression donne la valeur de l'aire, mais je nie que le nombre des termes est toujours $={\frac {m+r-e}{mn-rm-en}}+1$, puisqu'il avoue Luy meme que dans mon exemple le nombre des termes n'est qu'égal à un, au lieu que selon sa regle il devroit etre infini, comment donc accorder cela, etre en meme temps un seul et infini, n'est ce pas une contradiction? il a beau dire que les autres termes sont tous ensemble egaux à zero, car si on veut conter pour terme ce qui n'est rien je pourrois dire qu'un nombre quelconque plus grand que ${\frac {m+r-e}{mn-rm-en}}+1$, sera le nombre des termes, puis qu'il n'y auroit qu'à dire, que le surplus des termes est egal à zero, et ainsi il n'y auroit plus rien de determiné. Enfin je ne vois pas, que Mr. Craige puisse justifier une chose qui marque trop bien d'elle meme qu'il s'est precipité, ne vaudroit il donc pas mieux de confesser une inadvertence (car en effet ce n'est qu'une simple inadvertence) d'avoir oublié de faire des exceptions, que de vouloir soutenir à toute outrance des manieres de parler si plaisantes et si extraordinaires, telles que sont, que l'hyperbole est quarrable, item, qu'un seul terme est une progression des termes infinis. Quoi qu'il en soit je ne blame pas ses expressions pour les aires, elles peuvent étre d'un grand usage, mais la methode est trop longue et trop ennuyante pour y parvenir, je crois que c'est cette meme longueur, qui luy inspire tant d'estime pour ses regles, ne croyant peutetre pas qu'on y pourroit parvenir par une voye beaucoup plus courte, telle qu'est la mienne, qui ne s'étend pas seullement aux courbes $z^{m}+ay^{n}=bz^{e}y^{r}$, mais aussy generalement et avec la meme facilité aux courbes dont il traite dans la section III dont l'equation generale est $z^{m}=ay^{n}+bz^{e}y^{c+n}+fz^{2e}y^{2c+n}+gz^{3e}y^{3c+n}+hz^{4e}y^{4c+n}+{\mathcal {\textrm {etc.}}}$ car ma methode me fournit immediatement et avec une facilité et brieveté incroyable les aires de leur figure, avec une simple condition de quadrabilité, pour quelque nombre de termes que ce soit, aulieu que selon sa methode les conditions de quadrabilité se multiplient à mesure que le nombre des termes augmente comme il avoue luy meme; Vous ne croyez peutetre pas ce que j'avance icy touchant ma methode, mais vous en verrez la verité quand j'aurai l'honneur de vous le montrer icy: cependant je puis bien souffrir que vous communiquiez à Mr. Craige ce que je vous en ay deja fait voir, car je n'en fais point de mystere. Quant au reste, je suis extremement sensible aux douceurs et aux honnettetés que vous me dites de sa part, je vous prie de luy faire mes complimens reciproques et de l'assurer de l'estime que j'ay tant pour sa personne que pour ses decouvertes dont il a enrichi de temps en temps les Mathematiques. Cependant il y a une chose dont je puis me plaindre avec justice, je m'etois meme proposé de faire voir publiquement le tort qu'il m'a fait aussy publiquement, c'est pourquoy je ne vous en disois rien dans ma derniere quoique j'en fusse déja informé, mais puisque vous m'assurez si fort de la sincerité de Mr. Craige envers moy, je veux bien vous expliquer le sujet de ma plainte pour la luy raporter afin qu'il ait le temps de reconnoitre sa faute et de me rendre justice publiquement en retractant son erreur d'un coté et ces mauvaises censures de l'autre coté qu'il a faites de mon mouvement reptoire que s'il avoue de bonne foy dans les Transactions ou par un autre ecrit public (qu'il m'enverra) que c'est de moy qu'il a appris son egarement, et que c'est de moy aussy qu'il a eté ramené sur le bon chemin, je luy promets que j'en demeureray là, mais s'il ne le faisoit pas fidellement, ou qu'il vous sût couvrir son erreur par quelque couleur, j'en prendrois je vous proteste une vengence convenable devant tout le monde, en voycy donc Monsieur l'Histoire en peu de mots; Vous sçavez que j'ay proposé autrefois le probleme, qu'un mathematicien m'avoit proposé auparavant, de transformer une courbe donnée dans une autre differente mais d'une egale longueur et algebraique si la donnée étoit algebraique et j'ay insinué en meme temps que j'en avois une solution. Ladessus Mr. Craige donna aussy une pretendue solution dans les Transactions de Londres des mois de Janv. et Fevr. 1704 qu'on a inserée ensuite dans les Actes de Leipzig du mois d'Avril 1705 en ces termes: "Sint", dit il, "$w$, $s$ coordinatae curvae datae; et curvae quaesitae sint coordinatae $x$, $y$: tum ex conditione problematis erit $dw^{2}+ds^{2}=dy^{2}$. Ponatur $dx=dw-mdz$ unde erit $dy={\sqrt {ds^{2}+2mdwdz-m^{2}dz^{2}}}$, in hac pro $ds$ substituatur ejus valor per $w$, $dw$ et determinatas expressus: et pro $dz$ assumatur talis valor ex $w$, $dw$ et determinatis compositus, ut valores quantitatum $dx$, $dy$ sint summabiles. Et sic habentur $x$ ac $y$ coordinatae curvae quesitae. Q. E. I." Mais je fis voir dans les Actes de la meme année du mois d'Aoust, où je donnois ma propres solution, que cette solution de Mr. Craige ne peut pas etre une solution legitime, mais plutot un paralogisme nommé Petition de principe, se fondant sur un postulatum aussy difficile ou meme plus difficile, que le probleme, qui consiste en ce qu'il suppose qu'il est toujours facile de diviser la somme de deux quarrés en deux autres quarrés, dont les cottés sont integrables, disant pro $dz$ assumatur talis valor ex $w$, $dw$ et determinatis compositus, ut valores quantitatum $dx$, $dy$ sint summabiles, ce qui à mon avis a plus de difficulté que le probleme, Mr. Newton Luy meme et un autre bon Mathematicien etoient aussy de mon opinion sçavoir que Mr. Craige avoit fait ce qu'on appelle dans les Ecoles petere principium: Que fait donc Mr. Craige pour se purger de ce paralogisme? Vous allez voir, patience! aprez avoir laissé passer l'espace de trois ans pour mediter sur une reponse et sur une maniere de sauver son postulatum et de rendre par là sa solution de mon probleme parfaite et sans reproche, voycy qu'il donne au jour une piece dans les Transactions des mois de Mars et d'Avril 1708 où il commet un paralogisme bien plus grand que n'étoit le premier, car il est si inexcusable, qu'il ne trouveroit pas une nombre de raison pour le disculper comme vous m'avouerez vous meme quand je vous l'auray decouvert, mais afin que vous en puissiez mieux juger, je copieray ici de mot en mot la piece de Mr. Craige telle qu'elle m'a eté envoyée de Londres, où vous verrez en meme temps combien peu avantageusement il parle de ma solution, qui fut pourtant estimée et louée par Messrs. Leibnits et Neuton d'une maniere digne que j'en fasse mention, voyci donc la copie.

Hebien Monsieur que dites vous de cette piece? à entendre parler Mr. Craige d'un ainsi ferme et si assuré, on diroit, qu'il a toute la justice de son coté, cependant pour vous dire nettement la chose comme elle est, je dis que si la Solution que Mr. Craige donne ici etoit bonne, il n'en seroit pas le premier Auteur, car il faut que vous sachiez, qu'il y a bien 8 ans que je la trouvay aussy jusqu'à la meme que je m'en étois servi des memes expressions et des memes lettres $m$ et $n$, comme Mr. Verzaglia à qui je l'ay montré dans mes manuscripts, me peut rendre temoignage, mais tout frappé que j'etois d'abord de sa beauté apparente et de sa simplicité, je ne fûs pas longtemps sans m'apercevoir de mon erreur, la trop grande simplicité me faisant incontinent soupçonner le paralogisme que j'y decouvris peu apprez, et que je vay vous montrer icy, mais auparavant il faut que je vous dise, que cette pensée de diviser la somme de deux quarrés en deux autres quarrés vient si naturellement dans l'esprit, que plusieurs autres apprez moy ont donné dans ce piege longtemps avant Mr. Craige, car il y a 4 ans que Mr. Herman en a fait mention dans une de ses lettres qu'il m'avoit ecrite. Il y a pres de 3 ans que Mr. Moivre tomba aussy sur cette fausse solution dont il fut tellement ebloui que peu s'en fallut qu'il ne se precipitat à la publier, mais toute fois se defiant de soy meme il a eu la prudence de me la communiquer auparavant pour en demander mon sentiment, ce que je fis volontiers en luy faisant voir son erreur, il fut donc bien aise de ne s'etre pas prostitué par une publication precipitée d'une solution purement sophistique. En voyez donc maintenant en peu de lignes en quoi consiste sa fausseté. C'est que Mr. Craige s'imagine d'avoir transformé la courbe proposée dans une nouvelle courbe diferente, d'une egale longueur, cependant il n'en est rien moins que cela, car la courbe qu'il donne pour nouvelle, est tout à fait la meme courbe que la proposée, mais seullement sur un autre axe, en sorte qu'il ne change pas la courbe, mais seullement il en change les coordonnées, ce que je demontre ainsi:[Figur folgt] Soit la courbe proposée $AC$ dont les coordonnées $AB=z$, $CB=s$; Soit tiré une ligne droite $AD$ faisant l'angle $DAB$, de sorte que le sinus total $AB$ soit à la tangente $BC$ comme $mm-nn$ à $2mn$, je dis que la meme courbe proposée $AC$, est aussy la transformée de Mr. Craige dont les coordonnées seront $AD$ et $CD$, car si vous voulez prendre la peine de faire le calcule vous trouverez que $AD$ sera $={\frac {{\overline {mm-nn}}\times z+2mns}{mm+nn}}$ et $CD$ sera $={\frac {{\overline {nn-mm}}+s+2mnz}{mm+nn}}$, $AD$ et $CD$ seront donc les coordonées $x$ et $y$ de la courbe transformée de Mr. Craige, il n'a donc pas donné une nouvelle courbe egale à la proposée, et par consequent il n'a pas resolu le probleme. C. Q. F. D. Vous voyez donc Monsieur que Mr. Craige a fait un pas de clerc fort vilain, Luy qui a voulu jouer un coup de maitre, en nous critiquant nous deux Mr. Leibnitz et moy, mais fort mal à propos, il verra qu'il y a en deça de la mer des hommes capables de le critiquer avec plus de droit, il verra avec quelle justice il a pû nommer sa solution nulli objectioni obnoxiam, qui n'est autre chose qu'un pur paralogisme aisé et palpable: mais surtout je m'étonne, qu'il ose attaquer, et mepriser ma methode, par le mouvement reptoir, qui est une de mes inventions, que j'estime la plus et que Mr. Leibnits et Neuton et tous ceux qui l'ont lû avec attention ne peuvent pas assez admirer et estimer, selon leur propre temoignage, car effectivement cette methode m'a fait decouvrir de si grandes choses que sans me vanter je les prefere de beaucoup à la quadrature de cercle, pour vous en dire un seul echantillon, mon mouvement reptoir m'a suggeré une methode generale de reduire toutes les courbes aux arcs de cercles par une aproximation geometrique subitement convergente; je donnerais par exemple, en moins de rien deux rayons de deux cercles dont l'un sera plus grand que la circonference d'une Ellipse donnée et l'autre plus petit, et lesquels cercles pourtant ne differeront pas de la ${\frac {1}{10000000}}$ partie entre eux; que Mr. Craige nous en fasse de plus approchant comme je promets de faire si on le desire par une construction geometrique par le moyen de la quelle on peut trouver des limites si proches qu'on voudra pour toute sorte de courbe qu'on veut comparer avec des circonferences de cercle, avec quelle raison est-ce donc que Mr. Craige ose avancer, que ma solution est mechanique comme dependente du mouvement reptoir, n'ay-je pas montré la maniere de déduire un calcul analitique? n'ay-je pas montré aussy que mes courbes reptoires sont algebraiques quand les courbes proposées sont telles? Si pour avoir employé pour la commodité de la pratique le mouvement reptoir, il veut pour cela appeller ma construction mechanique, il faut certes appeller mechanique toutes les constructions qui se font par la description des cercles ou des elipses, par ce que le compas et le Fil avec les quels on decrit ces courbes, sont des instruments mechaniques, et le mouvement de la description de ces courbes est mechanique aussy bien que mon mouvement reptoir; je defie Mr. Craige de m'y montrer la moindre difference, ou de meme dire une raison pourquoi une courbe reptoire n'est pas aussy geometrique ou Algebraique si la generatrice est telle, que l'est une elipse, ou une Hyperbole, que veut il donc dire par ces mots: Sed nec motus Leibnitii Fractionis, nec Bernoulli motus reptorius cum Hugenii motu evolutionis comparabuntur donec cum Hugenio celeberimi viri Curvas per motus suos genitos ad leges Geometricas revocaverint, quod cum neuter eorum praestiterit, ideo problematum Solutiones dependentes a curvis per motus suos genitis inter mechanicas solutiones annumari possunt. Je laisse à Mr. Leibnits à defendre le sien, qui à la verité n'a pas trop à se louer du bon traitement de Mr. Craige, qui semble avoir pris à tache de mepriser ce grand homme, sans Luy en avoir donné aucun sujet; mais pour ce qui est de mon mouvement reptoir, je dis malgré tout ce que Mr. Craige en pense, que ce mouvement est pour le moins aussy bien reduit aux Loix geometriques, que le mouvement de l'evolution de Mr. Hugens, ce que cet Homme incomparable s'il vivoit encor ne feroit pas de difficulté d'avouer Luy meme, tout comme ont deja reconnu Messrs. Leibnits, Neuton, Halley et d'autres solides Mathematiciens: Je ne comprens aussy rien dans ce que Mr. Craige dit qu'il luy deplait, que j'ay appliqué et etendu ma solution seulement aux courbes Algebraiques, si cela est ma solution n'est donc pas mechanique, mais algebraique, il est bien vray, que j'ay voulu faire voir l'usage de ma Methode principalement dans les courbes algebraiques, parcequ'il n'y a point d'art de transformer une courbe transcendente en une autre transcendente, la chose etant trop facile pour qu'on en parle, un Tyron le feroit sans aucune methode quoique ma methode reptoire soit universelle c'est à dire aussy bien pour les transcendentes que pour les algebraiques. Enfin s'il me faut juger de la mauvaise critique de Mr. Craige, il faut que je dise que c'est ou par envie ou par prejugé, qu'il s'est laissé emporter car l'un ou l'autre le doit avoir empeché de lire ma piece avec attention, au moins, j'ose bien dire hardiment qu'il n'entend pas encor ce qu'il a voulu refuter; Je le prie donc de la lire attentivement, avec un esprit desinteressé, je me flate qu'il en jugera plus favorablement, et qu'il entrera dans le sentiment de Mr. Neuton; que si néantmoins il luy en restoit quelque scrupule, je le supplie d'avoir la bonté de m'en avertir amiablement avant que d'en precipiter la publication; j'espere de luy en donner une pleine satisfaction ou si j'ay manqué de le reconnoitre publiquement que Mr. Craige m'aura ramené sur le bon chemin; comme reciproquement j'espere qu'il aura la candeur de reconnoitre en public son erreur touchant la transformation des courbes, en avouant que je l'ay redressé, et que je luy ay fait voir qu'il n'a pas trouvé une nouvelle courbe comme il croyoit, mais que sa transformée et la proposée ne font qu'une mesme courbe et que par consequent il reconnoitra qu'il a mal critiqué ma solution; enfin j'espere qu'il me rendra toute la justice sur cette matiere selon la grande deference que vous dites qu'il a pour moy, c'est là le seul moyen d'empescher que je ne me rende moi meme la justice comme je me suis proposé de le faire en cas qu'il me la refusat; quand vous Luy envoyerés cette lettre (comme je vous en prie) ou une copie ayez la bonté de luy faire mes complimens avec priere de ne prendre pas mal si j'ay parlé ici un peu fort; L'amour de la verité m'y ayant porté ce qui ne m'empeche pas que je n'aye d'ailleurs pour luy et pour ses ouvrages toute l'estime imaginable comme j'en ay aussy pour vous étant tres parfaitement Monsieur Votre Serviteur J. Bernoulli.

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Fussnoten

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