Hermann, Jacob an Bernoulli, Johann I (1702.03.25)

Kurzinformationen zum Brief       mehr ...
Autor	Hermann, Jacob, 1678-1733
Empfänger	Bernoulli, Johann I, 1667-1748
Ort	Basel
Datum	1702.03.25
Briefwechsel	Bernoulli, Johann I (1667-1748)
Signatur	Basel UB, Handschriften. SIGN: L Ia 659, Nr.1*
Fussnote

Viro Excellentissimo et Celeberrimo Dn:

Johanni Bernoulli Math. Prof. Publ:

S. P. D.

Jacobus Hermannus.

Jam diu nimis quam par est, in litteris ad Te dandis me cunctatum esse nullo modo inficiari possum. In Anglia equidem epistolam ad Cel. Virum exarare apud me constitueram, at vero nihil mihi occurrere novi quod scriberem perspiciens consilium mutare tum temporis coactus fui: existimabam etiam si Londini Dni. Newtoni alloquio et conversatione multiplici utpote fruge perquam refertis frui potuissem, plurima me ex iis hausturum de quibus Te, Cl. Vir, certiorem facerem; sed falsa itidem spe me lactasse cum taedio expertus sum; adeo ut veniam de tanto silentio ab Excellentia Tua me facile impetraturum mihi persuadeam.

Verum enim vero Dn. Dn. Burchardis et Wetstenio iter in Belgium meditantibus, non potui non moram nectere, Teque Cel. Vir litteris jamjam lacessire; in primis ut Excellentiae Tuae gratuler, de adepto nuper novo honore, quo sane in justam meritorum Tuorum remunerationem sapientissimus Borussorum Rex Te ornavit: Membrum Societatis Regia munificentia a se recens fundata cum aliis Te constituendo; de tanto, inquam, Honore prae aliis Tibi debito laetus gratulor, Deum op: max: insimul precatus, ut quam diutissime studiorum suorum suavissimis fructibus in omnigena animae tranquillitate frui Te sinat; omnibusque aliis cum spiritualibus tum corporalibus cum honoratiss: familia quam cumulatissimum sospitem servet et incolumem; quibus alacrius in laudatiss: studiis pergere, nobilissimaeque scientiae pomoeria magis magisque dilatando, Famae una Celebritatem ubique terrarum extendere pergas; donec tandem vitae hujus saturum in Coelestem Academiam et Beatorum Societatem, ubi perfectissima erit scientia ex immediata quippe Dei visione oriunda, Deus Te recipiat maximus. Parisiis sollicite quid de Phosphoro Tuo liquido esset, a me sciscitarunt Dn. Dn. Varignon et Cassini junior; quibus ergo quid in aedibus Tuis viderimus Dn. Gysi et ego fideliter retuli; ex Phialae videlicet concussione cui inclusus erat, sub vesperam totum Conclave oppido lumine fuisse perfusum eoque haud debili. Ejusdem Phosphori fama Urbem pariter nostram pervasit. Quidam rem mirati inventum debitis honoribus depredicarunt; impossibile vero judicantes alii tale quid ex Mercurio confici posse, extenuarunt rem. Alii vero animo secum cogitantes Chemicis Te operationibus nunquam operam dedisse, et Phosphorum ex alia quam ex urina nulla parari posse materia praetendentes, negarunt plane phosphorum a Te unquam inventum esse. Sed maximopere hos omnes errare ubicunque occasio dabatur luculenter, ni fallor ostendi, atque subinde ad id quod ipsemet vidi provocavi.

In Anglia familiariter novi Dn. Moivre cujus meminit Fatio in suo Tractatulo de Curva cel. descensus: inventa Moyvreana circa series infinitas haec sunt, quae maximi facit: serie infinita $az+bzz+cz^{3}+dz^{4}+ez^{5}+fz^{6}{\textrm {etc.}}=gy+hyy+iy^{3}+ky^{4}+ly^{5}+my^{6}{\textrm {etc.}}$ invenietur valor ipsius $z$ per mera $y$ sequenti serie $z={\frac {g}{a}}y+{\frac {\overline {h-bAA}}{a}}yy+{\frac {\overline {i-2bAB-cA^{3}}}{a}}y^{3}+{\frac {\overline {k-bBB-2bAC-3cAAB-dA^{4}}}{a}}y^{4}{\textrm {[etc.]}}$ ubi $A={\frac {g}{a}}$, $B={\frac {h-bAA}{a}}$, $C={\frac {i-2bAB-cA^{3}}{a}}$ et ita porro. Alterum Theorema Moyvreanum docet seriem quampiam infinitam ad datam potestatem $m$ elevare. Londini mihi degenti ad manus tandem pervenit meas, ille Transactionum Philos. mensis cui Craigii quadratura Logarithmicae inserta invenitur, quam Te, Vir Cl., videre libenter adhuc dum recordor; quapropter eam iisdem verbis fideliter transcriptam, huic Epistolae subjungam. Non possum quin Te, excellentiss. Vir, de difficultate a Cl. Varignonio mihi mota consulam circa Problema a Te olim propositum, quod huc, ni fallor, redit: "Invenire Curvam in qua vi gravitatis corpus descend[ens] aequalem ubique habeat vim centrifugam." Fundamentum solutionis, memini, hoc mihi indicasti. Quadratum Celeritatis acquisitae applicatum ad Radium Osculi seu Curvedinis in eo puncto debet ubi[que] constans esse, sive, ponendo $x$ denotare altitudinem verticalem quam corpus in Curva naturali acceleratione descendendo emetitum fuerit et $z$ radium curvitatis; ${\frac {x}{z}}=1=$constant. quo fundamento nixus (cujus demonstrationem etiam tum facile perspexi) illico inter alias ad hanc differentialem aequationem perveni $dx{\sqrt {\frac {4a^{4}-aaec+2aaflx+aa\square lx}{aaec-2aaflx-aa\square lx}}}=dy$, ubi $lx$ est logarithmus ipsius $x$ in logarithmica ubi subtangens est $a$, et hic suppono $b$ esse ad $a$ ut est sinus totus ad sinum anguli facti a tangente Curvam in vertice et linea ad axem perpendiculari $c={\frac {a^{3}}{bb\pm 2b{\sqrt {bb-aa}}}}$, $e=2a-c$ et $f=c-a$. Dn. Varignon objecit contra hanc solutionem ejusque Analysin, ad mobilis in Curva decidentis gravitatem nullam attentionem factam in ea fuisse, quod mihi nunc re attentius paullo considerata gratis dictum videtur. Dominus Newton in Prop. IV, Libri I, pag. 42 Princ. suorum demonstravit: Corporis in Circulo aequabiliter moti vim centrifugam esse ut quadratum Celeritatis applicatum ad radium Circuli. Sed [fa]cile quoque demonstratur, mobilis cum quacunque velocitate in qualibet Curva descendentis vim centrifugam, seu tensionem quam patitur filum ejus Curvae evolutam tangens aequalem esse tensioni quam patitur Radius Circuli Curvam datam osculantis in puncto ubi mobile datam velocitatem obtin[et] et dum mobile idem in Circulo Osculatori aequabiliter cum data illa celeritate gyrat. Sit nunc $AB$ Curva quaesita ubi $AC$ est horizonti parallela huicque $CB$ perpendicularis et $BD$ radius Circuli osculatoris in puncto $B$. Jam quando Celeritas in $B$ supponitur esse ut ${\sqrt {BC}}={\sqrt {x}}$, idem est ac si diceretur eandem esse cum ea quae acquireretur per casum mobilis in $A$ descensum incipientis usque in $B$ naturali gravitate cadentis; adeoque cum formula ${\frac {x}{BD}}=1$ usus sum, ad pondus omnino attendi, nam quod mobile in $B$ talem sibi acquisiverit Celeritatem effectus est gravitatis. Fieri tamen facile potest ut lapsus fuerim, sed Tuum est, Vir Celeberr., me iterum erigere et in viam reducere a qua forsitan deflexi. Fatianum Tractatum hisce adjungere volui, sed cum maxima festinatione descriptus sit, emendatione indigebit. Quoniam etiam omnia quae a Tua Excellentia prodeunt in lucem non possint non esse mihi acceptissima, etiam atque etiam rogo Methodum Tuam de Centro oscillationis mecum communicare ne detrectes. Vale Vir Celeberrime mihique porro favere perge.

Basileae. VIII Calend. Apr. Anno MDCCII.

Sequitur nunc

Quadratura Logarithmicae. Autore Jo. Craig.

Ex Transact: Phil. Mens: Octobr. 1698, § VII.

Esto $ONF$ curva logarithmica, cujus asymptotos $AR$, in qua tale sumatur punctum $A$, ut ejus prima ordinata $AO$ sit subtangenti seu unitati aequalis. Quaeritur spatium Curvilineum $AONM$ a duabus ordinatis $AO$, $MN$; abscissa $AM$ et Curva Logarithmica $ON$ comprehensum.

Demonstratio.

Vocetur Ordinata $MN$, $z$; Subtangens $AO$ seu $ME$, $s$: et ad axem $AR$ construatur alia Curva $HGQ$ cujus aequatio $2sz=xx$ ubi ejus ordinata $GM=x$; dico quod sit quadratix Logarithmicae juxta Methodi meae fundamentum; scil. ejus subnormalis est respectivae hujus Ordinatae aequalis: ut ex Calculo istius methodi patebit. Ergo (juxta alibi a me exposita) si ad $G$ ducatur $GC$ perpendicularis et aequalis lineae $GM$, nec non $HD$ parallela ad $GC$, et lineis $GM$, $CM$ occurrens in $B$ et $D$; erit trapezium $GBDC=AONM$. Sed $GBDC=GMC-BMD={\frac {1}{2}}xx-{\frac {1}{2}}BMq=sz-{\frac {1}{2}}HAq$; sed $HA={\sqrt {2}}AOq$ ex natura curvae $HGQ$ ergo $GBDC=sz-AOq=AO,MN-AOq=AO,{\overline {MN-AO}}=ME,{\overline {MN-ME}}=ME,EN.$ Ergo etiam $AONM=ME\times EN$. Q. E. D.

Cum Methodum meam ad hujusmodi Figuras applicarem; inveni Errorem aliquomodo in Calculum Bernoullianum irrepsisse, dum Figurae cujus aequatio $a^{z}=y^{y}$ Quadraturam assignat ${\frac {2yyly-yy}{la}}$ in pereximio suo Tractatu De Principiis Calculi Exponentialis; est enim istius Figurae Area ${\frac {2yyly-yy}{4la}}$; ubi [$y$] abscissam et $z$ ordinatam designat.

Reverendi Domini Joannis Craigii Epistola continens Solutionem duorum Problematum. Ad Eruditiss. Virum Dn. H. Sloane, M. D. et Regiae S. Secretarium; excerpta ex Transact. Phil. Angl: Mens. Januar: 1700 n.^o 268, § IV.

Mitto Tibi, Vir Cl: solutiones duorum Problematum, quibus solvendis operam dederunt (et etiamnum dant) Celeberr. hujus aetatis Mathematici. Prius est de inveniendo Solido Rotundo, quod minimam in fluido patiatur resistentiam, ab incomparabili Viro Dn. Is. Newtono jam olim solutum; quod denuo nuper aggressi sunt, Illustriss. Marchio Hospitalius et Celeberr. Jo. Bernoulli, ulterius exponere; quoniam Analysin suam supprimere voluit digniss. Newtonus. Posterius autem Problema est de invenienda linea celerrimi descensus; quod ante hos quatuor annos omnibus (ut nosti) Europae Mathematicis a Clariss: J. Bernoulli proponebatur, et jam saepius solutum fuit. Ad meas solutiones quod attinet: eas jam publicis juris facio (non quod me quicquam praeclaris eorum laboribus addere posse sperem, sed) ut majori easd[em] res tractandi varietate, ad majora scientiae illae incrementa promoveantur. Et quamvis serius prodeat mea de Curva celerrimi descensus Analysis; magna tamen ejus simplicitate mora (ut spero) compensabitur. Qualem alii adhibuerint, nescio; cum nulla hujus solutio (nec quae in vestris, nec quae in Lipsicis Actis eduntur) ad manus meas adhuc pervenerit, praeter Newtonianam, quae Analysin non exhibet. Si inter selectas tuas Collectiones Philosophicas tenues etiam hae nostrae loco aliquo dignae videantur, habebis tibi devinctissimum;

Gillingham, 21 Decembr. 1700. Joh. Craig.

Problema I. Invenire Lineam Curvam cujus rotatione producatur solidum rotundum, quod (dum in medio Fluido secundum axis sui directionem movetur) miniman patiatur Resistentiam. Sint $OG$, $GB$ duae particulae infinite parvae in Curva quaesita, quae circa $AQ$ rotatae, producat solidum rotundum minimae resistentiae. Ducantur $BM$, $GP$ normales ad $AQ$, item $BL$, $GN$ ad $AQ$, et $ON$ ad $BM$ parallelae. Jam ${\frac {c,BM,GL^{3}}{r,GB^{3}}}$ est resistentia in superficiem genitam a r[ota]tione lineolae $GB$ circa $AQ$ et ${\frac {c,GP,ON^{3}}{r,OG^{2}}}$ (NB. ${\frac {c}{r}}$ est ratio circumf. circuli ad radium) est resisten[tia] in superficiem genitam similiter ab $OG$. Jam utraque haec Resistentia [si]mul sumpta debet esse minima scilicet ${\frac {c,BM,GL^{3}}{r,GB^{2}}}+{\frac {c,GP,ON^{3}}{r,OG^{2}}}$= minimae. Adeoque in Linea $RS$ ita ad $AQ$ parallela ut $ON$ sit = $GL$, quaerendum est punctum $G$ ut hoc contingat; quod supponendo puncta $O$ et $B$ fixa esse facile invenietur per notissimam Maximorum et minimorum Methodum. Calculum prosequendo devenietur tandem ad ${\frac {BM,BL}{BG^{4}}}={\frac {GP,NG}{BG^{4}}}=$ constanti. Sit abscissa $AM$, $x$ et ordinata $BM$, $y$ erit $BL=dx$, $LG=dy$ (quam constantem in toto hoc calculo supposui) adeoque $BG^{2}=dx^{2}+dy^{2}$, unde ${\frac {ydx}{{\overline {dx^{2}+dy^{2}}}^{2}}}$ constanti, sit $a$ linea quaelibet constans et proinde ut observetur Lex homogeneorum erit ${\frac {ydx}{{\overline {dx^{2}+dy^{2}}}^{2}}}={\frac {a}{dy^{3}}}$ ut ab Illustriss. Hospitalio et Celeberr. Jo. Bernoullio inventum est. Et hic obiter Clariss. Bernoullio significare visum est me plurimum delectari methodo sua construendi Curvas ex aequationibus differentialibus, in quibus deest altera ex indeterminatis $x$ et $y$, in Actis Lipsicis publicata mense Majo A.ⁱ 1700 et per quam eleganter deduxit constructionem Curvae modo quaesitae. Nov. 1699, pag. 515.

Problema II.

Invenire Lineam celerrimi descensus.

Sint $BC$, $CD$ duae particulae infinite parvae in Curva quaesita. Jam Curva illa debet esse talis ut transitus a $B$ ad $D$ post casum a horizontali $AQ$ fiat in tempore minimo; quaerendum itaque est punctum in linea $RS$ (ita ad $AQ$ parallela ut differentiae ordinatarum $GC$, $DE$ sint aequales) tale punctum $C$ ut hoc contingat.

Jam velocitas ejus in puncto $C$ est ${\sqrt {LC}}$ et velocitas in puncto $D$ est ${\sqrt {QD}}$. Ergo ${\frac {BC}{\sqrt {LC}}}$ est tempus descensus per $BC$ et etiam ${\frac {CD}{\sqrt {QD}}}$ est tempus descensus per $CD$ (per Prop. LIV pag. 158 Newtoni). Ergo punctum $C$ debet esse tale ut ${\frac {BC}{\sqrt {LC}}}+{\frac {CD}{\sqrt {QD}}}$ = minimo. Supponendo $B$ et $D$ esse fixa, et sint constantes $GC=DE=m$, $LC=b$, $QD=p$; indeterminatae $BG=u$, $CE=z$, unde ${\frac {\sqrt {m^{2}+u^{2}}}{\sqrt {b}}}+{\frac {\sqrt {m^{2}+z^{2}}}{\sqrt {p}}}$ = minimo. Ergo ${\frac {udu}{b^{\frac {1}{2}}{\sqrt {m^{2}+u^{2}}}}}+{\frac {zdz}{p^{\frac {1}{2}}{\sqrt {m^{2}+z^{2}}}}}=o$, sed $du=-dz$ (quia $u+z=$constanti). Ergo ${\frac {u}{b^{\frac {1}{2}}{\sqrt {m^{2}+u^{2}}}}}={\frac {z}{p^{\frac {1}{2}}{\sqrt {m^{2}+z^{2}}}}}$; unde patet ${\frac {u}{b^{\frac {1}{2}}{\sqrt {m^{2}+u^{2}}}}}$ = constanti, sit jam abscissa $AL=x$; ordinata $LC=y$; adeoque $BG=dx$, $GC=dy$, $BC={\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}$; sitque $a$ linea quaelibet constans; ergo ${\frac {dx}{y^{\frac {1}{2}}{\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}}}={\frac {1}{\sqrt {a}}}$, unde $dx{\sqrt {a}}=y^{\frac {1}{2}}{\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}$. Sed in omni curva $dx$ est ad ${\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}$ ut subtangens ad Tangentem; ergo talis est natura Curvae quaesitae, ut ejus subtangens sit ad tangentem ut ${\sqrt {a}}$ ad ${\sqrt {y}}$. Quam utique Cycloidis proprietatem esse sciunt omnes, quibus notum est Tangentem Cycloidis parallelam esse Chordae arcus contermini in circulo genitore, cujus Diameter est $a$, et cujus Vertex deorsum spectat.

Et pari facilitate Curvam invenire possum Celerrimi descensus pro qualibet alia gravitatis hypotesi.

---

Fussnoten

Zurück zur gesamten Korrespondenz (Bernoulli, Johann I)

Zurück zur gesamten Korrespondenz (Hermann, Jacob)