Bernoulli, Johann I an Maupertuis, Pierre Louis Moreau de (1731.01.18)

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Autor	Bernoulli, Johann I, 1667-1748
Empfänger	Maupertuis, Pierre Louis Moreau de, 1698-1759
Ort	Basel
Datum	1731.01.18
Briefwechsel	Bernoulli, Johann I (1667-1748)
Signatur	Basel UB, Handschriften. SIGN: L Ia 662, Nr.7:Bl.1-6
Fussnote	Am Briefkopf eigenhändig "à Mr. de Maupertuis". Der Brief war eingeschlossen in ein Paket an Ousenbrai. Diesem war ein Brief an Ousenbrai vom 18. Juni 1731 beigelegt. Seine Abschrift findet sich anschliessend an den Brief an Maupertuis.

Monsieur

Je Vous envoye ici V.^e traduction de la piéce sur les Tautochrones que je réçûs le 15.^e. Il étoit entiérement inutile de me l'envoyer pour ètre examinée par moi, qui suis un franc ignorant quand il s'agit de juger si quelque chose est bien ou mal écrit en françois. Ainsi je n'ai garde de m'eriger en Juge sur cela. J'ai tenté seulement de changer un peu d'expression de la definition 3 pour faire comprendre que ce n'est pas la simple difference des dimensions du Numerateur et du Denominateur que determine la Dimension de la fraction, mais que la dimension du denominateur, quand méme elle seroit la plus grande, doit ètre retranchée de la dimension du Numerateur quoique la plus petite, laissant ainsi une dimension negative pour celle de toute la fraction, mais j'aurois mieux fait de ne pas toucher à V.^e expression, qui est claire, et mon barbouillage est inintelligible, Vous n'avés qu'à restituer Votre langage et rayer le mien. Quant au reste, toute V.^e traduction va à merveille, et souvent elle exprime plus fortement le sens de ce que je veux dire que ne fait mon latin barbare. Je vois bien qu'il seroit superflu d'insister à Vous prier de prendre possession de cette piece comme de la V.^e, par les raisons que je Vous ai alleguées dans mes précédentes lettres, car la lettre de M.^r de Mairan que j'ai réçue avec la V.^e me donne à connoitre que Vous lui avés dit que cette piéce vient de moi, au lieu que Vous pouviés fort bien Lui dire que Vous y aviés pour le moins autant de droit que moi à plusieurs égards. Enfin je Vous permets présentement d'en user comme il Vous plaira. Vous aurés soin de repasser les expressions analytiques, de peur qu'il ne s'y soit glissé quelques fautes soit dans les lettres soit dans les signes.

Je compte M.^r que Vous aurés réçù ma lettre du 7. Janv. avec le Memoire sur les Oscillations d'un fluide dans un tuyau ouvert des deux cotés, dont l'un trempe dans un fluide infini ou immense de méme nature. Je serai curieux d'en apprendre V.^e Sentiment. Je ne sai si Vous Vous étes aperçù d'un Paradoxe, qui paroit d'abord surprenant, mais qui cesse de surprendre, dés qu'on y reflechit un peu attentivement; c'est que quelque grande hauteur qu'ait d'abord le fluide dans la partie du tuyau qui est hors du fluide ambiant ou externe, et quelque petite que soit la partie enfoncée du tuyau, neantmoins le fluide en descendant avec beaucoup de precipitation s'arretera tout court un peu au dessous du niveau du fluide exterieur sans pouvoir sortir entiérement par l'orifice du petit bout plongé, malgré la chûte precipitée et accelerée jusqu'au niveau, la raison en est, parceque dés que le fluide en descendant a passé le niveau, la masse du fluide restant dans le tuyau diminue si subitement, qu'il faut que pour sortir entierement par le bout d'en bas elle passe par tous les degrés de petitesse, jusqu'à devenir enfin infiniment petite et partant la force retardatrice du fluide ambiant qui sera infiniment grande par rapport à cette infiniment petite masse, la repousse avec une acceleration infinie et par conseq. en empeche la sortie entiére. Voila le denouement de ce paradoxe. Je m'etonne que Vous veuillés prendre la peine de critiquer ce qu'a écrit M.^r Parent, animal glorieux, s'il en fut jamais, et qui a toujours montré beaucoup de vanité et peu de solidité dans tous ses ouvrages. Il a cru étre en droit d'attaquer tout le monde, et méme les plus grands hommes tels que Newton, Huguens, Leibnits, Varignon et quoique je me compte pour rien auprés de ces M.$^{{\text{r}}s}$ il n'a pas laissé de m'attaquer aussi par ci par là, particuliérement sur mon traitté de la manoeuvre des vaisseaux qu'il a refuté à sa façon, pendant qu'il le pilloit avec une effronterie inouie, coutume ordinaire de ceux qui pour cacher leurs larcins maltraitent les auteurs qu'ils volent. Mais je n'ai jamais daigné ce misantrope d'aucune reponse, les gens de sa trempe ne meritant certainement pas, qu'on s'inquiete beaucoup de leur crierie. Il faut les laisser aboyer tout leur saoul comme les chiens, enfin ils se tairont d'eux memes. Comme M.^r Parent avoit des idées confuses de tout ce qu'il se mèloit d'ecrire, il ne faut pas étre surpris de la plaisante maniére dont il concevoit que se faisoit la pression que souffre une Courbe d'un corps qui descend sur elle, voulant que cette pression doit étre éstimée non seulement par l'effét de la pesanteur et de la force centrifuge, mais aussi que le tems doit entrer en consideration pour estimer la quantité de pression, comme si la pression ne se faisoit pas sentir avec une méme force, dans chaque instant indivisible; ce qu'il y a de plus ridicule dans ce Sentiment, est qu'il prétend que caeteris paribus les pressions sont en raison reciproque des tems que le corps employe a parcourir les parties de la courbe; Donc il faudroit selon l'idée de M.^r Parent, qu'un poids mis sur une table horizontale, êtant en repos c. à. d. se mouvant avec une vitesse infiniment petite, pressat la table avec une force infiniment moindre qu'il ne feroit s'il etoit tant soit peu en mouvement; au lieu qu'on seroit presque tenté de croire, que le Corps avec une grande rapidité horizontale ne feroit quasi que friser la table sans la presser sensiblement; mais ce qu'il y a de vrai, c'est que la pression s'exerce en chaque instant indivisible et le tems ne contribue rien à l'intensité mais seulement à la continuation de la pression; le poids sur la table la presse egalement fort, soit qu'il y soit pendant une minute ou pendant une heure; l'intensité de la pression est la méme dans l'un et l'autre cas. Cependant Vous entreprenés Mons.^r selon l'idée imaginaire de Parent sur la nature de la pression, de determiner la Courbe d'egale pression et de faire voir qu'il se trompe en attribuant cette proprieté à la Cycloide; Je crois que Vous avés reussi dans l'un et l'autre, sans que j'aye encore eu le loisir de l'examiner d'autant plus que nous avons traité cette matiére dans son veritable sens lorsque Vous etiés encore ici et je defére tant à V.^e adresse et exactitude à trouver les solutions des problémes bien plus sublimes que n'est celuici, que desormais je prendrai plutôt mon recours à Vous pour Vous consulter sur la validité de mes methodes que j'aurai employées dans les solutions des problémes qui se présenteront en tems et lieu. J'ai pourtant fait à la hâte le calcul en suivant les traces de V.^e Analyse, ce qui m'a fourni les remarques suivantes. 1.^o Je trouve pour la Condition de la Courbe $dy={\frac {c^{m{\sqrt {x}}}dx}{{\sqrt {}}(nx-c^{m{\sqrt {x}}})}}$ au lieu que V.^e Denominateur n'est que ${\sqrt {}}(x-c^{2m{\sqrt {x}}})$; cela vient de ce que Vous avés oublié en integrant quelque part d'ajouter un Logarithme arbitraire $\ln$ pour rendre l'équation generale. 2.^o Vous dites que l'on determine de la méme maniére la premiére ordonnée $AB$ dans la courbe d'egale pression; Vous auriés mieux fait à ce qu'il me semble de dire en prenant $x$ tel que ${\frac {lx}{\sqrt {x}}}=2m$, on aura $x$ lui méme pour la premiére ordonnée $AB$. 3.^o Le point d'inflexion de la Courbe $BM$, dites Vous, repond à $x={\frac {1}{mm}}$; mais je trouve pour $x$ toute autre chose, peutétre je me suis trompé dans le calcul. 4.^o M.^r Parent, qui bien loin d'avoir èté grand integrateur, n'entendoit pas méme les permiers principes du Calcul Integral, paroit étre tombé par hazard sur la Cycloide en supposant que la pression est comme la vitesse, car c'est par un pur hazard que Vous tombés sur la méme Cycloide en ne prennant d'abord que la pression qui resulte de la seule pesanteur, en raison de la vitesse, ce qui donne à la verité ${\frac {dy}{ds}}=m{\sqrt {x}}$, équation qui ne convient qu'à la Cycloide, et puis en cherchant aussi la Courbe où la force centrifuge est comme la vitesse, ce qui Vous donne ${\frac {-2xdyddx}{ds^{3}}}=m{\sqrt {x}}$ d'où Vous tirés trés bien, il est vrai, $dy={\frac {mdx{\sqrt {x}}}{{\sqrt {}}(1-mmx)}}$, qui donne la méme Cycloide, mais avec V.^e permission, Vous n'en tirés pas tout ce que l'on en peut tirer, car l'équation ${\frac {-2xdyddx}{ds^{3}}}=m{\sqrt {x}}$, étant reduitte, ne donne pas seulement $dy={\frac {mdx{\sqrt {x}}}{{\sqrt {}}(1-mmx)}}$, qui est pour la Cycloide, mais encore cette autre generale, $dy={\frac {(m{\sqrt {x}}+m{\sqrt {q}})dx}{{\sqrt {}}(1-(m{\sqrt {x}}+m{\sqrt {q}})^{2})}}$, où $q$ est une constante arbitraire quelquonque, que Vous avés aussi oubliée en integrant, et ce n'est qu'en faisant $q=0$ que Vous tombés sur l'équation à la Cycloide $dy={\frac {mdx{\sqrt {x}}}{{\sqrt {}}(1-mmx)}}$; mais $q$ n'étant pas $=0$, la courbe qu'elle produit est bien differente de la Cycloide. Ainsi Vous ne devés pas Vous étonner que de l'equation ${\frac {dy}{ds}}-{\frac {2xdyddx}{ds^{3}}}=m{\sqrt {x}}$, que Vous avés trouvée pour la courbe où la somme de la force normale et de la force centrifuge est comme la vitesse, Vous n'ayés pû tirer la Cycloide, car je viens de faire voir que les deux courbes pour la force normale et pour la force centrifuge n'ont point de connexion necessaire ou essentielle, et que partant leur identité se trouvant dans un seule cas est purement accidentelle.

Je Vous reitère M.^r le petit Compliment [qu]e je Vous fis dernierement à l'occasion du nouvel an; les souhaits quoique proferés en peu de paroles, sont partis du plus profond de mon coeur.

J'accepte avec bien du plaisir les voeux que Vous me faites dans V.^e long discours, mais le copieux encens dont Vous l'avés lardé ne me convient pas. Il me semble que Vous avés parfaitement bien apris la Coutume de nos Balois, qui en se complimentant l'un l'autre font des harangues à perte de vue. Je Vous prie de rendre en mon nom le même devoir à M.^r de Mayran en attendant que j'aye le tems de m'en aquiter moi même; Sa dern.^e Lettre est si obligeante que j'en suis charmé, outre les frequents services qu'il m'a rendus, je vois que je suis tout à fait dans ses bonnes graces, il est mon trés bon ami, mais avec tout cela aussi mon adversaire innocent; je l'ai remarqué par son memoire sur les forces vives, inseré dans les Mem. de l'Acad. de 1728, où il prend à tache de me refuser, quoique sans me nommer; que dirai-je de cette piece? Vous l'aurés lüe, dites m'en V.^e sentiment, pour moi je ne l'entends pas, mais ce que j'en entends, c'est de voir qu'il n'entend pas lui mème en quoi consiste la nature de la force vive; qu'il veut pourtant refuter; Je pourrois me scandaliser si je ne connoissois pas son bon coeur en ce qu'il ne s'attache qu'à ce que j'ai dit dans mon Discours imprimée sur le mouvement, mais qu'il passe sous silence toutes les plus fortes preuves que je lui ai données au long et au large dans un grand nombre de Lettres que je Lui avois ecrites sur cette matiére, et qui auroient assûrément converti le plus obstiné adversaire. Tachés, je Vous prie, de l'amméner à la Connoissance de la verité; Vous y pourrés mieux reussir de bouche que moi par écrit; il ne manque que cela pour lier le noeud d'amitié le plus étroitement entre Lui et moi. J'ai lu aussi le memoire de M.^r l'Abbé Camus en faveur des forces vives: il me plait beaucoup quoiqu'il n'ait pas donné tout l'eclaircissement necessaire pour avoir une juste idée de la force vive. Adieu mon cher Monsieur je suis à l'epreuve Votre tr. h. et tr. ob. S. J. Bernoulli

Bâle ce 18. Janv. 1731.

P. S. Rejouissés Vous M.^r je viens de reduire V.^e Equation differentielle du second degré ${\frac {dy}{ds}}-{\frac {2xdyddx}{ds^{3}}}=m{\sqrt {x}}$ aux differences premiéres; voici de quelle maniére je m'y suis pris: D'abord je divise l'equation par ${\frac {dy}{dx}}$ et j'aurai ${\frac {dx}{ds}}-{\frac {2xdxddx}{ds^{3}}}={\frac {mx^{\frac {1}{2}}dx}{dy}}$; où je m'aperçois que ${\frac {-dxddx}{ds^{3}}}$ n'est autre chose que la differentielle de ${\frac {1}{ds}}$, je donne donc à l'equation cette forme $dx{\frac {1}{ds}}+2x\cdot d({\frac {1}{ds}})=$${\frac {mx^{\frac {1}{2}}dx}{dy}}$; Pour rendre le premier membre integrable, mettez pour un tems ${\frac {1}{ds}}=z$, et Vous aurés $zdx+2xdz$, en place $dx{\frac {1}{ds}}+2x\cdot d({\frac {1}{ds}})$; or le premier $zdx+2xdz$ devient manifestement integrable en le multipliant par $x^{-{\frac {1}{2}}}$, car $\int (zx^{-{\frac {1}{2}}}dx+2x^{\frac {1}{2}}dz)=2x^{\frac {1}{2}}z=$ (en remettant ${\frac {1}{ds}}$ pour $z$) ${\frac {2x^{\frac {1}{2}}}{ds}}$; multipliant donc aussi le second membre ${\frac {mx^{\frac {1}{2}}dx}{-dy}}$ par $x^{-{\frac {1}{2}}}$, Vous aurés ${\frac {mdx}{dy}}$, dont l'integrale en prennant $q$ pour une arbitraire constante est ${\frac {mx+mq}{dy}}$; ainsi on a ${\frac {2x^{\frac {1}{2}}}{ds}}$ ou ${\frac {2{\sqrt {x}}}{ds}}={\frac {mx+mq}{dy}}$; Faisant le reste à l'ordinaire par la reduction, Vous trouverés enfin $dy={\frac {mxdx+mqdx}{{\sqrt {}}(4x-(mx+mq)^{2})}}$. C. Q. F. F. Cette Equation ne devient pour la Cycloide que lorsque l'on prend $q=0$, mais dans toute autre cas la courbe est toute differente de la Cycloide, conformèment à ce que j'ai dit dans la lettre, elle peut cependant toujours ètre construite par la Rectification des arcs de cercle.

En suivant cette methode d'integrer on reduira aux premières differences cette autre équation proposée plus generalement ${\frac {ady}{ds}}+{\frac {bxdyddx}{ds^{3}}}=mx^{\alpha }+nx^{\beta }+{\textrm {etc.}}$ et aussi celleci encore plus generale ${\frac {ady^{p-2}}{ds^{p-2}}}+{\frac {bxdy^{p-2}ddx}{ds^{p}}}=mx^{\alpha }+nx^{beta}+{\textrm {etc.}}$ ce qui embarasseroit un peu les petits Integrateurs tels que M^e Parent.

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Fussnoten

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