Bernoulli, Johann I an Fontenelle, Bernard le Bouyer [Bovier] de (1730.03.12)

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Autor	Bernoulli, Johann I, 1667-1748
Empfänger	Fontenelle, Bernard le Bovier de, 1657-1757
Ort	Basel
Datum	1730.03.12
Briefwechsel	Bernoulli, Johann I (1667-1748)
Signatur	Basel UB, Handschriften. SIGN: L Ia 658, Nr.10
Fussnote	Am Briefkopf autograph "à Mr. de Fontenelle Bâle ce 12. Mars. 1730. Letzte Seite leer

Bâle ce 12. Mars. 1730.

Monsieur

Voici un autre Exemplaire de ma piéce en place de celui qui s'est perdu. Je l'ai fait écrire en petit charactére pour étre envoyé plus commodém.^t par la poste. C'est un bonheur que j'en aye trouvé la minute encore entre mes papiers, car sans cela il m'auroit été impossible de restituer la d.^e piéce. Je suis ravi d'aprendre qu'elle est goutée par Msr.^s les Commissaires. Selon la maniére avantageuse dont il Vous a plû de m'en écrire, j'ai tout lieu d'en esperer un bon succés. Il me seroit glorieux de triompher entre si grand nombre de Pretendans, dont il y a 27 à ce que Mr. de Mairan vient de me mander sans faire semblant de soupçonner que je sois de ce nombre. J'en suis bien aise car s'il jugeoit ma piéce digne de son suffrage, je l'attribuerois à mon merite plûtôt qu'à l'amitié dont il m'honore.

Votre excellent Ouvrage sur les infinis^[1] fournit occasion à de belles recherches^[2]; en voici un Echantillon, à la page 126, art. 362. Vous remarqués trés bien que la suite ${\frac {1}{A}}$ qu'on apelle communem.^t harmonique, ${\frac {1}{1}}$ , ${\frac {1}{2}}$ , ${\frac {1}{3}}$ , ${\frac {1}{4}}$ ... ${\frac {1}{\infty }}$ , a la somme infinie, et qu'ensuite il y a des termes infinim.^t petits en nombre infini dont la Somme est finie; Mon fils a écrit derniérem.^t que pour determiner une telle Somme finie d'un nombre infini de termes infinim.^t petits, il n'y a qu'à concevoir que cette Suite aprés ${\frac {1}{\infty }}$ soit continuée par encore autant de termes jusqu'à ${\frac {1}{2\infty }}$ , et qu'on aura alors ${\frac {1}{\infty }}+{\frac {1}{\infty +1}}+{\frac {1}{\infty +2}}$ $+{\frac {1}{\infty +3}}+\ldots {\frac {1}{2\infty }}=\ell 2$ , c. à. d. que la somme de toute cette suite dont le nombre de termes est $\infty$ ou $\infty +1$ est egale au logarithme de deux et par conseq. en la continuant encore jusqu'à ${\frac {1}{4\infty }}$ , on aura aussi ${\frac {1}{2\infty +1}}+{\frac {1}{2\infty +2}}+{\frac {1}{2\infty +3}}\ldots {\frac {1}{4\infty }}=\ell 2$ et puis ${\frac {1}{4\infty +1}}+$ ${\frac {1}{4\infty +2}}+{\frac {1}{4\infty +3}}+\ldots {\frac {1}{8\infty }}=\ell 2$ et ainsi à l'infini. Ensorte qu'apres le ${\frac {1}{\infty }}$ on peut former une infinité de Suites d'infinim.^t petits, dont chacune a une somme finie de tous ses termes. Voilà donc un paradoxe assés curieux en ce qu'aprés le terme infinitiéme de la suite harmonique, on peut concevoir la Continuation si avant que la somme de tous ces infinim.^t petits fassent non seulement un fini, ou son double ou son triple etc. mais mème aussi un infini, car il est visible que ${\frac {1}{\infty +1}}+{\frac {1}{\infty +2}}+{\frac {1}{\infty +3}}+\ldots {\frac {1}{2^{\infty }\cdot \infty }}$ fera le $\ell 2$ pris une infinité de fois, c'est à dire un veritable infini. J'ai étendu cette speculation et j'ai trouvé que la suite des fractions dont les Denominateurs sont les racines d'un exposant quelconque plus grand que l'unité, dont Vous traités aussi p. 128, art. 366 peut étre de méme continuée au delà du terme infinitiéme, jusqu'à un certain nombre de termes dont la somme sera finie, ainsi ${\frac {1}{\sqrt {\infty +1}}}+{\frac {1}{\sqrt {\infty +2}}}+{\frac {1}{\sqrt {\infty +3}}}+\ldots {\frac {1}{{\sqrt {}}({\overline {\infty +{\sqrt {}}\infty }})}}$ est $=1$ et generalem.^t ${\frac {1}{\sqrt[{n}]{\infty +n}}}+{\frac {1}{\sqrt[{n}]{\infty +2n}}}+{\frac {1}{\sqrt[{n}]{\infty +3n}}}+\ldots {\frac {1}{{\sqrt[{n}]{}}(\infty +c{\sqrt[{n}]{}}\infty \cdot a)}}=c$ ; J'entens par $a$ et $c$ des nombres finis quelconques et par l'exposant $n$ un nombre affirmatif plus grand que l'unité. Je serois curieux de savoir si par votre Systéme on peut découvrir les mémes verités; pensés y Mr., il ne sera peutétre pas impossible de reussir, et cela donneroit egalem.^t du poids à sa validité et du relief à sa beauté. J'ai écrit ces jours passés à mon fils à Petersbourg, et je n'ai pas manqué de lui marquer les temoignages de Votre affection pour lui; Le Nouveau Gouvernem.^t en Russie m'inquiéte aussi; etant à craindre que ce changem.^t ne porte du prejudice aux affaires de l'Acad. Russ. Nous serons éclairci dans peu sur cet article; pourvû que l'ancien Ministére qui est bien porté pour l'Acad. ne soit pas cassé nous aurons lieu d'espérer qu'elle sera conservée. La Goute qui m'a saisi depuis plusieurs semaines m'oblige de finir. Je suis avec une estime trés particuliere et un devouem.^t parfait, Mr., etc. J. Bernoulli