Bernoulli, Johann I an Maupertuis, Pierre Louis Moreau de (1729.06.14)

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Autor	Bernoulli, Johann I, 1667-1748
Empfänger	Maupertuis, Pierre Louis Moreau de, 1698-1759
Ort	Basel
Datum	1729.06.14
Briefwechsel	Bernoulli, Johann I (1667-1748)
Signatur	Basel UB, Handschriften. SIGN: L Ia 662, Nr.1
Fussnote	Am Briefkopf eigenhändig "à Mr. de Maupertuis de l'Academie R. des Sciences à Paris". Auf der letzten Seite die Abschrift eines Briefes von Joh.I B. "à Mr. le Comte d'Ousenbrai" vom 14.6.1729

Monsieur

J'ai reçû la lettre que Vous avés pris la peine de m'ecrire et je suis bien sensible à toutes les honnetetés dont elle est remplie; Mr. de Thiancourt mon amj m'a parlé si avantageusement de Vos belles qualités, que l'estime que j'avois conçue pour Vous a eté augmentée de beaucoup. Ce sera un bonheur pour moi si j'ose Vous compter dans le nombre de mes Amis et Correspondants; Je suis, il est vrai, un peu negligeant dans le commerce, mais comme je suis d'un age avencé et trop occupé des affaires de ma charge je me flatte de meriter quelque indulgeance quand je ne serai pas assés exact de repondre incontinent à ceux qui me font l'honneur de m'ecrire: Aussi ai-je prié par une lettre Mr. de Thiancourt de faire mes excuses auprés de Vous de ce que je ne pouvois pas Vous donner une prompte reponse comme la bienseance auroit demandé, à cause de certaines distractions qui m'etoient survenues dans le tems que je reçus l'honneur de Votre lettre: j'ai maintenant un peu de loisir de m'acquiter de mon devoir.

Il y a si longtems Monsieur, que je n'ai plus presente à l'esprit la matiere sur laquelle Vous me demandés mon eclaircissement, que je doute si je suis en état de vous satisfaire; mais je me souviens d'en avoir écrit par lettres à feu Mr. le Marquis de l'Hopital, peutetre que j'en trouverai quelque lambaux parmi mes papiers, dont je pourrai Vous faire part si Vous le souhaités. Le point de rebroussement peut étre consideré en plus d'une manière, savoir comme l'union de deux points d'inflexion et comme l'evanouissem.^t d'un noeud auquel une courbe se coupe elle meme, par exemple la Cycloide allongée etant continuée aprés la premiere revolution du cercle generateur a deux points d'inflexion en cette forme [Figur folgt]; $ABC$ a deux branches $AB$ et $BC$ qui ont leur point d'inflexion en $D$ et $E$: Mais à mesure que le point decrivant, qui est audedans du cercle generateur, s'approche de la circonférence, ils se confondent au point $B$ et forment ensemble le point de rebroussement qui est entre deux parties de la Cycloide ordinaire; Cependant ce meme point de rebroussement peut aussi étre consideré comme l'evanouissement du noeud de la Cycloide racourcie qui a cette figure ; car il est visible que le point decrivant, qui est hors de la circonference du cercle generateur, étant pris infiniment prés de la circonference, le noeud $N$ se confondra avec le point $B$, auquel cas la partie $NB$ deviendra aussi le point de rebroussement. Ainsi ce point consideré suivant la premiere ou la seconde idée peut étre regardé comme une partie infiniment petite de la courbe, qui admet touts les degrés de convexité, en sorte que chaque ligne droite tirée par ce point doit étre censée comme une tangente; le calcul le confirme; de plus on voit que dans un sens le rayon de la developpée peut avoir differentes déterminations, selon qu'on le regarde comme appartenant au point $B$ ou au point $D$ ou $N$ ou à un point qui est entre deux, par ex. en $F$. Il est certain qu'il y a des cas, où un point d'inflexion (autre que celui qui concourt déja à former le point de rebroussement) peut aussi s'unir à lui, ensorte qu'il deviendra rebroussement de la seconde sorte: Quant à la formule que Vous avés trouvée pour le rayon de la developpée conforme à celle qu'on trouve dans l'anal. des inf. pet. il ne faut pas douter, qu'elle ne détermine bien la grandeur du rayon de la developpée qui doit etre unique, mais ce rayon n'exclud pas les autres qu'on peut appeller rayons de toutes les convexités possibles, que la consideration des maxima et minima ne donne pas: il faut pour cela un autre calcul, qu'on ne peut employer que dans des exemples, je pourrois Vous en proposer quelques uns, mais je n'ai pas le tems d'y mediter. Vous avés au reste raison de dire que lorsqu'une courbe rebrousse, elle doit toujours tendre à opposer sa convexité à sa convexité et que si elle ne le fait pas il faut qu'il lui soit survenu inflexion; on le voit en faisant attention à la maniere dont les courbures vont à etre continuées. C'est une regle generale, ce me semble, que l'union de deux inflexions, et meme s'il est possible de quatres, de six etc. fait un point de rebroussement de la premiere sorte, et qu'un noeud evanouissant avec l'union d'un ou de trois ou de cinq etc. points d'inflexion donne un rebroussement de la seconde sorte. Pour des exemples que Vous souhaités, des points de rebroussement de la seconde sorte, on s'en fera tant qu'on veut sur l'idée qu'en donne l'Analyse des inf. pet. n. 108 on n'a qu'à developper p. ex. la parabole cubicale premiere qui a un point d'inflexion au commencement de son axe, et commencer le developpement par un autre point, la courbe qui se decrit aura sans doute un rebroussement de la seconde sorte. Vous ne pouvés pas ignorer cela, puisque Vous meme avés cité ce passage; je crois que Votre intention va à avoir des courbes algebriques, La parabole cubicale premiere n'en donnant que des transcendantes: pour obtenir des algebriques, il n'y a qu'à choisir pour $BAC$ (fig. 91) une telle courbe qui soit algebrique, qui ait un point d'inflexion, et qui soit rectificable; je ne pense pas qu'il soit impossible de trouver des courbes qui ayent ces trois conditions. Donc la courbe $BAC$, qui les a, Vous donnera des rebroussantes de la seconde sorte $GDEF$, qui seront algebriques. Autant que je puis juger de l'expression de mon frére (Act. Erud. 1692, p. 115) lorsqu'il dit unde quot etc. tot requiruntur ad illam evolutione describendam aliae curvae et una praeterea, sans avoir eu le tems de relire tout son memoire, il faut selon toutes les apparences entendre par cet aliae curvae seulement alias partes aut alios ramos et unum praeterea ejusdem curvae. Je suis au reste avec une estime et consideration toute particuliere

Bernoullj

Bâle ce 14.^e Juin 1729.

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Fussnoten

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