Bernoulli, Johann I an Montmort, Pierre Rémond de (1718.09.29)

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Autor	Bernoulli, Johann I, 1667-1748
Empfänger	Montmort, Pierre Rémond de, 1678-1719
Ort	Basel
Datum	1718.09.29
Briefwechsel	Bernoulli, Johann I (1667-1748)
Signatur	Basel UB, Handschriften. SIGN: L Ia 665, Nr.12
Fussnote	"à Mr. de Monmort" sowie Datum am Briefkopf eigenhändig. Bleistiftrandstriche

Bâle ce 29. 7bre 1718.

Monsieur

La chaleur excessive qui nous a extremement incommodé depuis plusieurs mois ne m'a pas permis de faire autre chose que chercher la fraicheur, mais comme nous commençons de respirer un air plus moderé je reprens la plume pour repondre à Votre tres agreable lettre du 26. Juin.

Je suis ravi de Vous voir d'accord avec moi sur le chapitre de Mr. Taylor qui nous injurie à la maniere Angloise parceque nous ne voulons pas approuver la solution cavaliere de l'Auteur Anonyme dont il est question au sujet du probleme des trajectoires: c'est assurement une methode expeditive de contraindre les gens à gouter les choses les plus impertinentes, il n'y a qu'à affecter comme fait Mr. Taylor, une autorité de Dictateur et prononcer par là hardiment que nous sommes tous des ignorans, si nous ne voulons pas reçevoir de lui ce qu'il nous impose de croire. La plus part des Anglois sont d'Etranges Gens, ils veulent etre tous autant de Papes, car ils pretendent de faire en Mathematique, ce que fait le Votre (pardonnés moi ce trait) en matiere de Religion, il veut qu'on accepte purement et simplement la Constitution, sans l'examiner et sans faire d'exception; Mr. Taylor et plusieurs de ses compatriotes voudroient bien nous forcer de recevoir d'Eux une Bulle ou constitution suivant la quelle nous reglerions notre croiance en fait des Mathematiques: Quant à moi je me prepare deja à me voir excommunié et foudroié comme un heretique mathematicien, Mr. Keil comme Protonotaire Apostolique prononcera la terrible sentence Tradimus Te Satanae etc. mais j'espere que ce seront fulmina ex pelvi, et que le bon Dieu me preservera de ces anathemes. Le memoire de mon fils sur les trajectoires a paru dans les Actes de Leipsic au mois de Juin: celui de Mr. Taylor aura sans doute eté publié dans les Transactions de Londres; Vous avés tres bien fait de lui mander que sa solution des trajectoires est incomplete aussi bien que celle de Mr. Herman dont il reconnoissoit pourtant l'imperfection; je ne crois pas qu'il ait le secret de separer les indeterminées de cette equation ${\overline {xdz-zdx}}\times a^{n-1}=x^{n}dr$, car s'il l'avoit, il n'auroit pas manqué de s'en prevaloir pour rendre sa solution parfaite et partant pour triompher: mais je suis curieux de sçavoir ce qu'il Vous a repondu, et s'il aura bien la candeur de reconnoitre l'insuffisance de sa solution. Dans les Actes du mois de Juillet dernier j'ai trouvé une nouvelle solution de Mr. Herman du probleme des trajectoires, qu'il pretend etre universelle, c'est apparemment celle dont il Vous a parlé en dernier lieu et dont Vous me parlés aussi dans Votre lettre, mais pour vous dire la verité, je n'y comprens rien, et si je veux faire l'application pour les exemples les plus faciles, je trouve tout autre chose que je ne devrois trouver: J'en ai fait l'essai sur les lignes droites qui partent d'un point donné dont il est clair que les trajectoires sont des cercles concentriques qui ont leur centre au point donné; et encore sur les paraboles qui ont le meme axe et le meme sommet dont nous sçavons que les trajectoires sont des ellipses dont le centre commun est dans le sommet des paraboles: Cependant dans l'un et l'autre de ces exemples la nouvelle regle de Mr. Herman, qu'il debite pour generale, donne des courbes pour trajectoires bien differentes des cercles et des Ellipses; Il est vrai que Mr. Herman fait lui meme l'application au probleme en question proposé aux Anglois par Mr. Leibnits, mais j'avoue qu'il le fait d'une maniere si obscure pour moi, que je ne voi pas comment sa conclusion est tirée de sa regle, encore ne le fait il que pour le cas des cycloides, dont il avoit devant les yeux ma construction publiée dans les Actes de Leipsic de 1697, p. 211.

Vous approuvés donc Monsieur ce que j'ai dit du caractere de Mr. Keil et de presque tous les Anglois en general, mais Vous ajoutés que la ressemblance que je leur trouve avec leurs Dogues est exprimé d'une maniere charmante et que Mdme de Monmort et une compagnie de Personnes d'elite à qui vous avés lû cet endroit de ma derniere lettre lui ont donné de grans eloges et ont admiré la force et l'elegance de mon style, en verité ce seroit là de quoi nourrir ma vanité si je ne croyois qu'il y entre un peu de flaterie de Votre part; que Mdme de Monmort et ces autres personnes de bon gout aient applaudi à cette ressamblance, passe, mais de me dire qu'on a loué et admiré je ne sçai quelle force et elegance de mon style, c'est me conter des sornettes; me suis je jamais piqué de bien ecrire ou de m'exprimer elegamment, surtout dans une langue etrangere, et en particulier dans la langue françoise que l'on a portée au dernier point de delicatesse, difficile meme à Vos meilleurs ecrivains à ecrire dans toute sa pureté? je me contente d'ecrire verités sans beautés plutot que beautés sans verités. La chose Vous plait c'est assés, je ne me mets pas en peine de la maniere dont elle est enoncée. Vous avés encore la bonté de reconnoitre la verité qui se trouve comme Vous dites toute entiere dans la peinture que j'ai faite de ces Anglois outrés et inhumains auxquels Horace reproche la ferocité envers les etrangers: Je suis cependant d'accord avec Vous qu'il y a plusieurs sçavants Anglois à qui on feroit tort de les vouloir comprendre dans le nombre de ces Misanthropes dont parle Horace, car j'en ai connu de fort honnetes gens qui etoient bien polis et bien civilisés et qui m'ont temoigné beaucoup d'honnetetés, je serois un ingrat si je ne me louois pas entre autres de Mssrs. Newton et Halley qui outre les presens qu'ils m'ont fait de plusieurs de leurs ouvrages ils firent à mon egard mille civilités à mon Neveu pendant son sejour à Londres; J'apprens tout fraichement de Mr. Varignon que Mr. Newton lui a envoié pour moi un exemplaire de la nouvelle edition latine de son Optique; ce de quoi je Vous prie de le remercier de ma part quand Vous lui ecrirés; Mr. Newton est assurement un homme que j'estime non seulement pour la superiorité de son genie mais aussi pour sa droiture et son bon coeur, il seroit parfait s'il ne pretoit pas trop aisément l'oreille à ses flatteurs et adorateurs tels que sont Keil et ses semblables qui tachent de lui inspirer de l'amour propre pour soi et sa nation, et du mépris pour les Etrangers. C'est à quoi il faut attribuer je croi les effets de vanité, d'injustice et d'ingratitude qui se trouvent dans les 3 passages que Vous me cités. Pour ne parler que du troisieme, où Mr. Newton affecte de donner par coroll. les Ovales de Descartes, c'est là un vice enraciné et commun presque à tous les Anglois, qui marque en meme tems de la vanité, de l'injustice, et de l'ingratitude tout ensemble; car imaginés Vous un homme fanfaron qui Vous dise que tout ce qui est contenu dans Votre livre sur les jeux de hazard, n'est qu'un petit corollaire d'une certaine proposition qu'il pretendroit avoir demontrée, en verité ce seroit une vanité insupportable, mais ce seroit aussi une injustice et une ingratitude parce qu'il Vous oteroit ou tacheroit de Vous oter la gloire qui Vous seroit legitimement due, au lieu de Vous remercier de ce que Vous avés bien voulu enrichir le public de Vos excellentes decouvertes; C'est Cheyne du nombre de ces fades flatteurs de Mr. Newton, qui donne un bel exemple d'une telle fanfaronade dans son Traité des fluxions pag. 59 et 60, où il dit avec autant d'impudence que de vanité que tout ce que nous autres avions publié dans le tems de 24 ans, n'etoient que des repetitions ou tout au plus des corollaires faciles de ce que Mr. Newton a publié ou communiqué à ses amis. Il parle aussi assés sechement pag. 50 de ma suite generale pour reduire les fluxions aux fluentes que j'ai publié dans les Actes de Leipsic de 1694, comme si cette suite ne meritoit pas d'etre traité autrement que comme une chose qu'il deduit facilement de sa methode; Mais Mr. de Moivre lui a tres bien montré l'impertinence et la vanité de son affectation, et a fait voir en meme tems que Cheynes voulant encherir et etendre l'universalité de ma methode n'a rien fait autre chose que l'obscurcir et trahir son ignorance.

Revenons à notre tres aimable Mr. Keil, Vous avés sans doute ecrit à Mr. Taylor que j'ai resolu generalement le probleme que Keil m'a proposé, et que je lui ai accordé du tems jusqu'au premier de Septembre pour declarer s'il Lui meme a resolu son probleme, si au bout de ce terme il ne donnoit point de reponse positive, que je prendrois son silence pour un aveu tacite de son impuissance, et que je ferois voir publiquement l'insolence qu'il auroit eue de me defier par un probleme qu'il ne seroit pas lui meme capable de resoudre; je marquai dans ma derniere que dans le cas le plus simple, la resistance du milieu etant en simple raison des vitesses, la courbe que le mobile decrit sera une ligne tres connue des Geometres, que je ne voulois pas encore nommer alors; mais il n'est pas necessaire d'en cacher plus le nom, car depuis ma lettre j'ai vû dans le discours de Mr. Huguens de la cause de la pesanteur pag. 172, (que j'avois lu autrefois) qu'il donne aussi une construction pour ce cas particulier; je dis donc que c'est la logarithmique et quelques autres courbes qui en dependent, entre autres la courbe de Mr. de Beaune; Mr. Newton que Mr. Huguens cite, donne aussi une construction pour ce cas particulier dans la Prop. IV du 2. Livre, mais elle est plus embarassée que celle de Mr. Huguens, et toutes deux moins simples que le mienne; cependant il s'agit ici principalement du cas où la resistance est en raison doublée de la vitesse et en general où elle est en raison d'une puissance quelconque de la vitesse, c'est ce que personne n'a resolu avant moi: Le terme accordé à Mr. Keil est expiré, et presque un mois au delà; je suis donc curieux d'apprendre s'il Vous a repondu et en quoi consiste sa reponse.

Ne sçavés Vous pas Monsieur si le 2.^e memoire de Mr. Keil a paru dans le Journal de la Haye ou ailleurs, quoi qu'il en soit, ma declaration latine que Vous avés vue, se trouve deja dans les Actes de Leipsic en forme d'appendice apres le memoire de mon fils. S'il est vrai que la societé qui faisoit les Journaux litteraires de la Haye soit rompue, je suis sur que Mr. Keil n'acquiescera pas et qu'il se servira d'un autre journal pour y publier son invective contre moi, car il est trop enragé pour en demeurer là, et il semble que son Pere l'ait fait jurer devant l'Autel de faire la guerre perpetuelle aux etrangers, comme fit autrefois Amilcar à son Fils Hannibal pour l'obliger de devenir ennemi irreconciliable des Romains, mais si ce redoutable capitaine a porté ses armes et la terreur jusques devant les portes de Rome, nous pouvons nous consoler parceque l'impuissance de Keil et sa crierie ne va gueres loin au de là de la mer.

A Vous entendre parler il faut qu'on range Mr. de Moivre dans la classe des filoux, quoi qu'il faille plus de finesse pour etre filoux que pour etre voleur; Vous dites que Vous etes pillé par lui dans son edition angloise De mensura sortis à peu prés comme je l'ai eté par Mr. Hayes, mais avec cette difference, dites Vous, que celui ci est modeste et ne prend point le titre d'inventeur, au lieu que Mr. de Moivre Vous depouille en faisant semblant qu'il n'a point lu Votre premiere edition et qu'il n'a rien pris de la seconde; si cela est il faut dire qu'il est entierement Anglisé, en ce que c'est le naturel de presque tous les Anglois de piller de tout coté à droite et à gauche pendant qu'ils ont l'impudence de crier au voleur! temoins Keil, Cheynes, etc. Quis tulerit Gracchos de seditione querentes: Vous avés cependant les armes en main pour Vous venger de l'injustice que Mr. Moivre Vous a faite, et pour Vous remettre dans la possession de ce qui Vous appartient de droit, ce seroit une grande injustice que Vous Vous feriés à Vous meme si tandis que Vous travaillés à redresser les torts et à faire justice aux Auteurs Geometres vivans et morts, Vous negligiés de revendiquer Votre bien pour l'abandonner aux usurpateurs.

Ce que Vous me communiqués touchant ce que Mr. Herman Vous a ecrit sur la courbe des resistances regarde mon Neveu plutot que moi, puisque c'est le probleme que Mr. Keil lui a proposé pour le defier; Vous sçaurés pourtant qu'il y a longtems que nous le construisimes mon neveu et moi, par les quadratures tant pour l'hypothese commune des resistances proportionelles aux quarrés des vitesses que pour celles des resistances en simple raison des vitesses; Que la construction que Mr. Herman donne presentement pour cette derniere hypothese soit bonne ou non, je ne veux pas me donner la peine de l'examiner, mais quoi qu'il dise que ce qu'il a avancé dans le scholie pag. 338 de sa Phoron. sur l'impossibilité de construire la courbe des resistances ne se rapporte qu'au probleme general de trouver la dite courbe des resistances dans toute autre hypothese que dans celle de Mr. Newton que les resistances soient proportionelles aux quarrés des vitesses, il semble pourtant que lorsqu'il ecrivit ce passage de la Phoron. qu'il ne sçavoit pas encore reduire le probleme aux quadratures pour cette hypothese particuliere des resistances en simple raison des vitesses, et qu'il croioit meme la chose impossible; lisés je Vous prie ses propres paroles, Etenim, dit il, si resistentiae sunt ut celeritates acquisitae, nondum constat, qua ratione curva $ARC$ construi debeat, ne quidem concessis quadraturis figurarum curvilinearum, elles sont trop claires pour faire croire qu'il y parloit de l'hypothese generale, car il dit poositivement si resistentiae sunt ut celeritates acquisitae, et non point si resistentiae sunt ut functio qualiscunque celeritatum acquisitarum, comme il auroit du s'exprimer s'il avoit voulu parler de l'hypothese generale des resistances: De grace Monsieur n'ai je pas raison? et ne voiés Vous pas que Mr. Herman tache de couvrir l'impuissance où il etoit alors? il feroit à mon avis plus genereusement d'avouer son foible que de le deguiser d'une maniere si ridicule: ce qui précede cet Etenim confirme encore trop bien qu'il ne sçavoit alors aucune construction pour l'hypothese des resistances proportionelles aux vitesses, quand il dit sed, accurate et Mathematice rem sumendo praenominata $ATRC$ (curva resistantiarum) non est ellipsis in prima, nec parabola in altera resistentiae hypothesi; sed quantum conjicere licet, utroque casu erit transcendens, car s'il etoit vrai qu'il avoit une solution pour l'un et l'autre cas, que seroit il besoin de dire quantum conjicere licet, puisqu'il auroit pu parler avec assurance et dire quemadmodum scio?

Vous ajoutés Monsieur que Mr. Herman entre plusieurs choses belles et curieuses dont sa lettre est remplie Vous a communiqué l'integrale et la construction de cette equation differentielle $adx+bdy+cxdx+eydx+fxdy+gydy=0$, où les coefficiens $a$, $b$, $c$, $e$, $f$, $g$ renferment toutes les varietés possibles des signes $+$ et $-$; mais il ne Vous a pas dit (selon sa belle coutume) que c'est de moi qu'il a emprunté la regle de separer les indeterminées dans cette equation pour en prendre ensuite l'integrale ou pour la construire, car il faut que Vous sçachiés qu'il possede une copie faite sur la mienne de mes leçons communiquées autrefois à Mr. le M. de l'Hopital, c'est ce que l'Auteur anonyme de l'Epistola pro Eminente a dit publiquement vid. Act. Lips. 1716. p. 298, et que Mr. Herman n'a garde de nier; or voici ce qui se trouve à la marge de la leçon onzieme, Vous en jugerés si ce n'est pas justement la regle dont Mr. Herman se sera servi "Habentur", dis je à l'endroit marqué, "quaedam regulae generales pro separatione indeterminatarum per substitutionem facienda; sic omnes aequationes differentiales ubi nulla reperitur linea constans pro supplendis homogeneis, hoc est ubi indeterminatarum dimensiones in quolibet termino simul sumtae eundem semper efficiunt numerum, possunt reduci ad alias separabiles si pro $x$ substituatur $zy$, adeoque pro $dx$, $zdy+ydz$, vel contra pro $y$, $zx$, proinde pro $dy$, $zdx+xdz$. Item omnes aequationes differentiales ubi indeterminatae $x$, et $y$ primam dimensionem non transcendunt" (ce qui est precisement le cas de Mr. Herman) "reduci possunt ad separabiles si ponatur $x=z+m$, et $y=t+n$ (per $m$ et $n$ intelligo quantitates constantes sed incognitas quas sequenti modo quaero) eorumque valore substituto in aequatione proposita, si termini in quibus reperiuntur pure constantes in utroque membro aequentur nihilo: hoc modo patebit quid pro incognitis constantibus sumendum sit, ut illis in aequatione evanescentibus remaneat aequatio consistens homogeneis solis indeterminatis, quae igitur per praecedentem regulam generalem reduci potest ad separabilitatem". Suivant cette regle Vous trouverés $m={\frac {ag-be}{fe-gc}}$ et $n={\frac {bc-af}{fe-gc}}$, desorte que $x=z+{\frac {ag-be}{fe-gc}}$ et $y=t+{\frac {bc-af}{fe-gc}}$, substituant donc ces valeurs de $x$ et $y$ dans l'equation proposée $adx+bdy+cxdx+eydx+fxdy+gydy=0$, elle se changera en celle ci $czdz+etdz+fzdt+gtdt=0$, la quelle n'a plus que quatre termes dans chacun des quels il y a une indeterminée d'une dimension, faisant donc selon la premiere regle generale $z=tu$, et $dz=tdu+udt$, et mettant ces valeurs de $z$ et de $dz$ dans la derniere equation, il en resultera cette autre où les indeterminées sont toutes separées ${\frac {{\overline {-cu-e}}\times du}{cuu+eu+fu+g}}={\frac {dt}{t}}$; donc elle se construit par des quadratures, mais ce qui plus est, les deux membres de cette equation etant des fractions rationelles, on la reduit par la methode que je publiois dans les Memoires de l'acad. de 1702, et qui a eu le bonheur si je m'en souviens de Vous bien plaire, on reduit, dis je, cette equation à une equation algebrique dans les cas où la chose est possible, ou du moins à la quadrature de l'hyperbole ou à celle du cercle, ou enfin toujours à une equation exponentielle, car par la dite methode Vous trouverés (salvo errore calculi) faisant $\alpha ={\frac {-e+f-{\sqrt {ee+2ef-ff-4gc}}}{2{\sqrt {ee+2ef+ff-4gc}}}}$, $\beta ={\frac {e+f-{\sqrt {ee+2ef+ff-4gc}}}{2c}}$, $\gamma ={\frac {+e-f-{\sqrt {ee+2ef+ff-4gc}}}{2{\sqrt {ee+2ef+ff-4gc}}}}$, $\epsilon ={\frac {e+f+{\sqrt {ee+2ef+ff-4gc}}}{2c}}$, Vous trouverés dis je cette equation exponentielle ${\overline {u+\beta }}^{\alpha }\times$${\overline {u+\epsilon }}^{\gamma }=t$, qui pourra etre exprimée en $x$ et $y$ si on remonte en resubstituant pour $u$ sa valeur ${\frac {z}{t}}$, et ensuite pour $z$ et $t$ leurs valeurs $x{\frac {-ag+be}{fe-gc}}$, et $y{\frac {-bc+af}{fe-gc}}$. Toutes les fois que $\alpha$ et $\gamma$ deviennent des quantités rationelles, il est clair que la courbe pour l'equation proposée sera algebrique, mais pour avoir une construction aisée de la courbe il vaut mieux de s'en tenir à l'equation trouvée ${\frac {{\overline {-cu-e}}\times du}{cuu+eu+fu+g}}={\frac {dt}{t}}$, car aiant fait par le moien des quadratures ou des logarithmes la courbe dont les coordonnées soient $u$ et $t$, on en tirera aisement les $x$ et $y$ qui seront les coordonnées de la courbe cherchée. Notre equation trouvée fait aussi voir tout d'un coup les cas dans les quels la courbe cherchée devient algebrique, car il n'y a qu'à voir quelle supposition il faut faire afin que le numerateur de la fraction ${\frac {{\overline {-cu-e}}\times du}{cuu+eu+fu+g}}$ devienne le differentiel ou le multiple quelconque du differentiel du denominateur; Voici quelques cas seulement. 1.^o Si $c=0$; 2.^o Si $g=0$; 3.^o Si $e=f$; 4.^o Si $cg=ef$; 5.^o Si $e=-f$ et que ${\frac {c}{g}}$ soit un quarré negatif; 6.^o Si $ee+2ef+ff-4cg$ est un quarré parfait; notés que je suppose en tout cela que $c$, $e$, $f$, $g$ soient des quantités rationelles. Mais c'en est assés sur ce sujet, je me trompe bien si ce que Mr. Herman Vous en a communiqué n'est pas tiré du meme principe c'est à dire de ce qu'il a vû dans la copie de mes manuscrits, ce ne seroit pas la premiere fois que de vouloir arare vitula mea, il le fit bien autrefois, et quelques fois peu honnetement, en voulés Vous un echantillon? Lisés s'il Vous plait l'art. X, pag. 393, Append. de sa Phoron., où il se vante faussement que personne avant lui autant qu'il sçache n'a demontré le principe hydraulique nec quisquam alius, dit il, quod sciam (demonstravit) aquam aliumve liquorem ea velocitate etc. Cependant c'est moi le premier qui lui ai donné une demonstration de ce principe tres bonne et tres legitime deux ou trois ans avant qu'il fit imprimer son livre lorsqu'il passa par ici revenant d'Italie, il y a meme de l'apparence que sans moi il n'auroit jamais pensé à donner une demonstration dans l'appendice; lorsque j'y vis ce passage je fus piqué et je ne manquai pas de lui reprocher vivement par une lettre son peu de discretion envers moi. Effectivement ne pouvant pas nier le fait il en fut si honteux, qu'il ne sçut alleguer autre chose pour son excuse, si non, qu'il avoit oublié d'avoir vû ma demonstration, mais que s'en ressouvenant bien presentement, il me promettoit de la publier et d'avouer publiquement qu'il me reconnoit pour le premier demonstrateur de ce principe en question, en effet il executa sa promesse voiés les Actes de Leipsic de 1716 p. 375, quoiqu'un peu trop cavalierement, car il ne dit pas positivement, comme il devoit, qu'avant ma Demonstration il n'en avoit point vu d'autre ni trouvé lui meme, enfin il me faut rire de la foiblesse de sa memoire dans cette occasion, vû qu'il a d'ailleur la memoire si heureuse qu'il se souvient aisement s'il veut de la moindre circonstance de ce qu'il a vû ou lû longues années auparavant. Quittons cela. Vous dites Monsieur que dans la lettre que Mr. Herman Vous a ecrite, il y a plusieurs choses sur les vibrations des cordes, mais si elles ne sont pas plus solides que ce qu'il en a publié deja dans les Actes de Leipsic de 1716 dans le meme memoire où il a communiqué ma demonstration, il n'aura pas sujet de s'en vanter beaucoup, car il me paroit que ce qu'il y donne n'est qu'un pur paralogisme etant fondé sur un faux principe: la solution de Mr. Taylor qu'il donne dans son livre De methodo incrementorum Prop. 22 et 23 me semble mieux fondée, quoiqu'il y ait aussi quelque chose à redire; j'ai confronté ces deux solutions avec ce que Mr. Sauveur a ecrit sur cette matiere et avec ses experiences, auxquelles ni l'une ni l'autre ne convenoit pas, mais si je m'en souviens, la solution de Mr. Taylor s'en ecartoit moins que celle de Mr. Herman. Pour moi j'ai une methode tout à fait differente des leurs. Je considere la corde comme une chaine inextensible, mais qui par son propre poids se courbe tant soit peu, en sorte que c'est la veritable ligne funiculaire ou chainette, mais plus ou moins approchante de la ligne droite horizontale qui passe par les deux extremités, selon que la chaine est plus ou moins fortement tendue ou bandée; je considere donc que les vibrations des cordes ne sont autre chose que des oscillations des chaines courbées en funiculaires, dont il faut chercher le centre d'oscillation; la distance de ce centre à la ligne horizontale qui joint les extremités de la chaine marquera la longueur d'un pendule simple qui sera isochrone avec les vibrations de la chaine qui me represente la corde de musique; voila en peu de mots tout mon systeme, je Vous laisse à decider le quel de ces trois a plus de vraisemblance.

Mr. Herman le Pere me dit dernierement qu'aiant reçû de Mr. Birr de Paris un paquet de quelques tomes des Memoires pour son Fils, il lui avoit envoié ce paquet le meme jour ou le lendemain sans l'ouvrir; ainsi je ne sçai pas si l'Arithmetica universalis de Mr. Newton que Vous avés donné à ce Mr. Birr avec la Theorie de Mr. Renau destiné pour mon neveu, se trouve malheureusement dans le meme paquet, en ce cas ces deux livres feroient la promenade jusqu'à Francfort sur l'Oder, à moins que la lettre que Mr. Herman le Pere ecrivit incontinent pour Francfort sur le Main pour y arreter et ouvrir ce paquet, y soit arrivé assés à tems: peut etre que ces deux livres n'ont pas eté mis dans ce paquet, et que Mr. Birr les a encore ches lui, car à ce que Mr. Herman me dit, il faut qu'il y ait prés de 4 mois que ce paquet est parti de Paris, peutetre avant que Mr. Birr ait reçû les livres pour nous.

J'aurai du plaisir à lire le receuil de lettres entre Mr. Leibnits et Mr. Clark, si Vous pouvés m'en procurer un exemplaire, je Vous aurai bien de l'obligation; Que Mssrs. les Anglois ont une etrange philosophie comme Vous dites, cela paroit par mille exemples, mais je m'etonne sur tout qu'ils ne veuillent pas reconnoitre la veritable estime de la force des corps qui sont en mouvement, car j'apprens que Mr. Clark la nie encore à Mr. Leibnits; il n'a peutetre pas vu ma demonstration contenue dans le premier tome du cours des Mathematiques de Mr. Wolf par la quelle je demontre d'une maniere geometrique et convaincante que les forces vives des corps egaux ne sont pas en simple rasion des vitesses comme croient les Anglois et beaucoup d'autres Mathematiciens mais qu'elles sont en raison des quarrés des vitesses; je voudrois bien que Mr. Clark vit cette demonstration pour sçavoir de quelle maniere il y repondroit. Vous avés laché, dites Vous, à Mr. Taylor la defence de Vos principes physiques et Metaphysiques; je Vous souhaite patience et fermeté dans Votre entreprise, car Vous allés irritare crabrones et Vous avés beau vous fier sur la justesse de Vos raisonnemens, ils crieront toujours sans ecouter Vos raisons, il s'agit ches eux de la gloire de leur nation en defendant aux depends meme de la saine raison tout sentiment reçu dans leur pays quelque ridicule qu'il soit. Voudriés Vous les convaincre en raisonnant, c'est comme si Vous vouliés emploier une eloquence bien raisonnée pour arreter ou faire taire le tintamarre d'un reveille matin; quand il commence à jouer dans une montre ou dans une horloge, il faut avoir patience jusqu'à ce que son ressort s'etant entierement debandé il s'arrete enfin de lui meme: Laissés crier Vos antagonistes à plein gosier, ce sont des machines montées par Mr. Newton, elles cesseront enfin quand elles n'en pourront plus. Je reçevrai avec plaisir une copie que Vous m'offrés de Votre defense, je Vous en dirai mon sentiment avec cette franchise et cette cordialité que Vous attribués aux Allemands.

C'est un contentement pour moi que Vous soiés presentement instruit des particularités de mon commerce avec feu Mr. de l'Hopital. Je ne sçai combien de cette histoire le P. Reyneau Vous a pu communiquer, car ç'auroit eté de Mr. de l'Hopital lui meme qu'il l'auroit appris; mais pour Mr. Varignon il en sçavoit tres peu autre fois, vu que Mr. de l'Hopital m'avoit defendu de lui communiquer toutes les particularités de notre commerce.

Vous dites Monsieur que le P. Reyneau avoit un manuscript complet de mes leçons communiquées à Mr. de l'Hopital, qu'il Vous preta il y a 13 ou 14 ans; Demandés lui, je Vous prie, qui c'est qui le lui a communiqué ou donné à copier, quant à moi je ne me souviens pas qu'etant à Ouques j'aie pu lui donner ce Manuscript complet, puisque celui que j'ai presentement etoit encore entre les mains de mon ami qui l'avoit copié sur les originaux livrés successivement à Mr. de l'Hopital. Il faudroit donc que Mr. de l'Hopital lui meme eut preté ces originaux au P. Reyneau pour en prendre copie, ce que j'ai de la peine à croire, vû que Mr. de l'Hop. etoit extremement mysterieux sur ce chapitre, me priant toujours de ne faire part à personne de ce que je lui communiquois, quelle apparence donc, qu'il ait divulgué ce qu'il souhaitoit que je cachasse. Cependant il peut bien etre que le P. Reyneau possede quelques papiers qu'il a eu de moi, mais je doute que ce soient les memes qui contiennent les leçons faites pour Mr. le M. de l'Hopital, ou s'il en a, qu'il les ait toutes. Je ne Vous conteste pas la Regle de droit Ille est Pater quem nuptiae demonstrant, je Vous accorde aussi la consequence que Vous en tirés pour les livres Ille est Auctor quem liber demonstrat; mais avec permission je pourois repondre que l'Analyse des infinim. petits ne demontre pas que Mr. de l'Hop. en est l'Auteur, puisque lui meme il ne s'en attribue qu'autant que d'autres et moi en particulier Lui voudront laisser, il consent meme que nous en revendiquions tout ce qu'il nous plaira, il est vrai comme Vous remarqués fort bien, qu'il le dit d'une maniere trop generale, et c'est aussi en quoi il n'a pas agi trop sincerement avec moi, et dont je me suis toujours plaint; mais il est vrai aussi, comme j'eus l'honneur de Vous en donner des preuves dans ma lettre precedente, que je n'ai jamais manqué de reclamer et de repeter mon droit, durant meme sa vie, toutes les fois que lui ou d'autres le vouloient faire passer pour l'auteur de mes inventions contenues dans l'Analyse; que si neantmoins le public ne vouloit pas en etre persuadé, quoique je sois assuré que si non en France, au moins dans les pais etrangers on est generalement prevenu de la verité que je soutiens et qu'on me rend bonne justice là dessus, j'aurois le moien de desabuser le public du contraire, en faisant publier les lettres de Mr. de l'Hopital et les miennes, qui feroient foi et montreroient la verité plus clairement que si je faisois imprimer mes anciennes leçons, les quelles, outre qu'elles ne seroient plus de saison aiant perdu l'air de nouveauté et de curiosité, on les pouroit toujours soupçonner comme faites aprés la publication du livre de l'Analyse; je consens pourtant volontiers que quelcun prenne la peine de les faire imprimer, je lui preterai ma copie, qui est la plus ancienne puisqu'elle a eté faite immediatement sur les originaux à mesure que je les avois composés; mais aiant eté copiée par une personne qui n'entendoit nullement la matiere elle est remplie d'une infinité de fautes tant dans les figures (qui sont tres mal faittes) que dans les calculs, il faudroit donc les corriger soigneusement et puis faire un extrait de mes lettres ecrites à Mr. de l'Hopital dans lesquelles je lui ai fait part de mes decouvertes qui sont les principales et par consequent plus considerables que ce qu'il y a dans les leçons; il est vrai que je n'ai pas toujours gardé copie de mes lettres; j'en ai pourtant de la plus grande partie, et les Heritiers de feu Mr. de l'Hopital pourroient suppleer à ce qui manque, mais oseroit on esperer cette complaisance? Vous avés raison Monsieur, Roberval etoit un homme vain et faux, il etoit effectivement ambitieux menteur, je me suis souvent mis en colere en lisant les pieces contestées entre lui et ses contemporains voiant l'effronterie et l'impudence avec la quelle il soutenoit des faussetés et des menteries outre les paralogismes qu'il a souvent commis dans ses raisonnements, comme j'en ai fait voir quelques uns publiquement touchant par exemple la refraction et la trochoide qui est notre cycloide. C'est encore tres bien rencontré que de joindre Mr. Parent à Roberval, celui là etoit le veritable portrait de celuici, et tous deux font une belle pair de chevaux de carosse; j'ai aussi senti l'effet de l'humeur atrabilaire de Mr. Parent envieux au dernier point, ne pouvant souffrir la gloire d'un autre; je crois qu'il est mort de chagrin et d'envie; il est vrai que je ne me suis jamais mis en peine de ses morsures, voiant qu'il n'epargnoit pas meme les plus grands genies et qu'il attaquoit avec une egale fierté les Huguens, les Leibnits, les Newtons, etc.

Mais il est tems Monsieur que je Vous tire de Votre etonnement; je Vous etonne, dites Vous, de dire que mon Frere n'a pu resoudre le probleme de la chainette; oui, je Vous le dis encore, car c'est une verité incontestable, dont je Vous donnerai des preuves qui feront cesser Votre etonnement; voions auparavant si les raisons qui Vous font croire le contraire sont assés solides; Vous dites que mon frere avoit proposé ce probleme; cela est vrai, mais s'en suit il que dans ce tems il en avoit une solution? point du tout: lorsqu'il proposa ce probleme par ma suggestion (car j'y ai pensé le premier), nous n'etions encore ni l'un ni l'autre en etat de le resoudre, nous desesperions meme comme d'une chose insoluble, jusqu'à ce que Mr. Leibnits eut averti le public dans les Actes de Leipsic de 1690, p. 360, d'avoir resolu ce probleme sans donner la solution pour laisser du tems aux autres Analystes, ce qui nous anima mon frere et moi à nous y appliquer de nouveau; les efforts de mon frere furent sans succes, pour moi je fus plus heureux car je trouvai l'adresse (je le dis sans me vanter, pourquoi cacherois-je la verité?) de le resoudre pleinement et de le reduire à la rectification de la parabole, il est vrai que cela me couta des meditations qui me deroberent le repos d'une nuit entiere, c'etoit beaucoup pour ce tems là et pour le peu d'age et d'exercice que j'avois, mais le lendemain tout rempli de joie je courus ches mon frere, qui luttoit encore miserablement avec ce noeud Gordien sans rien avancer, soupçonnant toujours comme Galilée que la chainette etoit une parabole; Cessés! cessés! lui dis-je, ne Vous tourmentés plus à chercher l'identité entre la chainette et la parabole là où il n'y en a point, celleci aide bien à construire l'autre, mais ce sont deux courbes aussi differentes, que peuvent l'etre une courbe algebrique et une transcendente, j'ai developpé tout le mystere; aiant dit cela je lui montrai ma solution et decouvris la methode qui m'y avoit conduit, elle lui plut d'abord, et il vit incontinent (quoique cela ne fut plus difficile aprés la methode trouvée) que cette methode etoit applicable à toute sorte de chainettes en supposant que les chaines sont d'inegale grosseur, voila l'origine des mots de Coepit Hon. frater speculationem hanc extendere etc. Mais Vous m'etonnés à mon tour d'en inferer que mon frere a trouvé une methode de resoudre ce probleme, d'autant qu'il est naturel de suppléer à ces mots latins que Vous cités, ces autres postquam nempe methodum meum ipsi aperuissem, de plus, je Vous demande, croiés Vous bien que si mon frere avoit resolu le probleme en question, il auroit eu la complaisance pour moi de ne pas paroitre parmi les soluteurs pour me ceder la gloire de comparoitre seul sur la scene en qualité de premier soluteur avec Mssrs. Huguens et Leibnits? Vous avés connu l'humeur de mon frere, il m'auroit plutot ravi (s'il l'avoit pu honnetement) l'honneur de la premiere invention que de me laisser participer seulement bien loin de me le ceder s'il avoit eté à lui. Ce que Vous allegués du memoire de Mr. Leibnits p. 277 Et ipse cum fratre... Bernoullius ne veut rien dire pour prouver Votre these, car Mr. Leibnits (à qui mon frere avoit signifié que nous possedions la veritable solution sans lui dire que c'etoit moi qui l'avoit trouvée, remarqués qu'alors je n'etois pas en correspondence ni avec Mr. Leibnits ni avec le collecteur des Actes) Mr. Leibnits dis-je, ne sçachant à qui de nous deux freres l'invention de la methode annoncée etoit deue, pour ne se pas tromper s'est servi de cette expression vague Et ipse cum fratre Bernoullius; mais le Collecteur des Actes, à qui j'avois ecrit pour la premiere fois, en envoiant mon memoire, deja mieux informé parle d'une maniere positive pag. 273 en m'attribuant à moi et non pas à mon frere la solution communiquée solvit vero illud, solutionemque nobis communicavit proponentis frater Johannes Bernoulli, il dit proponentis frater Joan. Bern. et non pas ipse proponens Jac. Bern. Ensuite Mr. Leibnits connut certainement que mon frere a appris de moi la methode de resoudre les chainettes: Voici ce qu'il m'ecrivit dans plusieurs lettres: dans celle du 15. Avril 1706 il dit Illud verissimum est, Vos vestro Marte, sed Te ante fratrem, applicationem (calculi infinitesimalis) ad difficilius problema, nempe catenarium, me tamen praemonente de successu, reperisse, et inde aditu aperto ad laudem famamque inventi non minus contulisse quam me ipsum me certe applaudente et gaudente. Dans celle du 20 Aoust 1706 où il se plaint de ce que Mr. Bernard avoit inseré dans son journal appellé Nouvelles de la Republique des Lettres que les deux freres Bernoulli avoient resolu de lui enlever la gloire de l'invention du Systeme des infinitesimales, Mr. Leibnits s'exprime en cette maniere Non optima fide contexta fuit narratio quam Bernardus collectionibus suis inseruit, nec mihi tantum sed et tibi parum aequa videtur, cum non attingatur quod verissimum est, te ante Dn. fratrem in difficilis problematis (catenarii) interiora penetrasse, eumque hac in re non parum tibi debuisse id ergo non plane dissimulandum putavi, ut suum cuique tribuatur. Peu de tems aprés Mr. Leibnits fit inserer un memoire dans le meme journal de Mr. Bernard, où il repeta publiquement la meme chose, mais afin que Vous sçachiés ce qu'il pensoit par rapport à mon commerce avec Mr. de l'Hopital, je veux bien transcrire le passage qui parle de l'un et de l'autre. "Feu Mr. Bernoulli", dit il, "voiant qu'un nouveau champ etoit ouvert, il me pria de penser, si par la meme analyse on ne pouroit arriver à des problemes plus difficiles, maniés inutilement par d'autres, et particulierement à la courbe qu'une chaine doit former, supposé qu'elle soit parfaitement flexible partout, que Galilei avoit cru etre la parabole. J'y pensois et j'en vins à bout d'abord, mais au lieu de publier ma solution, j'encourageois Mr. Bernoulli à la chercher aussi. Mon succés fut cause sans doute, que les deux freres s'y appliquerent fortement et (NB.) que le plus jeune depuis Professeur à Groningue et maintenant à Bâle, eut l'avantage d'y reuissir entierement ... . Ils m'ont toujours fait la justice de m'attribuer l'invention de cette analyse, comme on le voit par plusieurs endroits de leurs ecrits dans les Actes de Leipsic et ailleurs, et par l'ouvrage de M. le M. de l'Hopital, à qui Mons. Bernoulli le jeune en avoit communiqué les fondemens à Paris: et moi, je leur ai rendu la pareille, en avouant, qu'ils avoient beaucoup de part à l'utilité que le public en a tiré, et que personne n'avoit plus fait valoir cette invention qu'Eux etc."

Je crois, Monsieur, que Vous ne serez pas faché de voir aussi ce que je repondis sur cela à Mons. Leibniz dans ma lettre du 11. 7bre 1706. "Legi animadversionem Tuam Novellis litterariis inserendam, placet ea mihi, atque propositum Tuum, cuique suum tribuendi, quo Tua Tibi summo jure vindicentur, Ego plane non improbo; Potuisses tamen etiam hoc non omittere, quod post publicatum Tuum Algorithmum calculi differentialis, modumque quantitates differentiandi, Ego primus fuerim, qui proprio Marte cogitarim de altera calculi parte, qua a differentiis ad summas regressus quaeritur, cujus antea nec volam nec vestigium sive in Actis, sive alibi videram, quem ideo, cum commodius vocabulum nescirem, novo nomine calculi integralis, nunc passim recepto, insigniebam; Ac postea regulas plures eodem tempore pro eo calculo a me inventas, partim cum fratre partim cum aliis communicavi: Mihi enim tum temporis persuadebam nemini ante me in mentem venisse cogitationem de conversione methodi differentialium, ejusque inversionis modo et usu. Ut itaque, quanquam et Te et Newtono sim posterior, nihilo minus tamen, quantum ad calculum integralium spectat, aliquo modo in inventionis gloriae partem jure merito vobiscum venire possem. De problemate curvae catenariae quod dicis, illud a fratre Tibi fuisse propositum, non addis, quod id fecerit ex meo instinctu, considerabam enim eam curvam ante Fratrem, nescius tamen uterque, eandem illam jam a Galilaeo fuisse tentatam, in hoc vero problemate solvendo, cum ille frustra desudasset, ego vero primum usum regularum mearum pro calculo integralium feliciter adhibuissem et solutionem meam Fratri ostendissem, inceperat meas regulas pluris quam antea aestimare et excolere. Hoc modo calculus iste paulatim incrementa nova et perfectiones accepit. Lutetiam tandem profectus communicavi cum Domino Hospitalio omnes nostras regulas duplicis calculi Differentialium et Integralium: Pro opere autem Hospitaliano postea edito, certe non tantum fundamenta, ut innuis, sed materiam ipsam totam suppeditavi, sicuti id per manuscripta et litteras bene multas, etiamnum apud me asservatas, atque jam a multis viris Doctis et fide dignis saepe visas planissime constat; Ita ut non minori jure, quod olim Virgilius de versibus suis ab alio usurpatis, id ego de hoc opusculo dicere possem:

Hunc Ego codiculum feci, tulit alter honores,

Sic vos, non vobis..."

À tout cela Mr. Leibnits repliqua en peu de mots dans sa lettre du 3. Octobre 1706. "Dn. Fratrem", dit il, "Tuum p. m. se suggerente de Catenaria quaesisse, ignorabam, quia vero indicas, non dissimulabo: Addam etiam, uti asseris, materiam ipsam a Te Hospitalio suppeditatam, ut Tibi Tuum tribuatur". Voici une autre preuve de ce qu'au commencement le probleme de la chainette n'a pas eté resolu par mon frere. Mons. Herman, qui a eté le disciple de feu mon frere pendant plusieurs années et qui sçavoit de sa bouche toutes ses affaires et ce qui s'etoit passé entre nous touchant cette matiére et autre chose, Mr. Herman, dis je, ne nomme pas mon frere entre les soluteurs, comme, sans doute, il n'auroit eu garde de l'omettre, s'il avoit aussi resolu le probleme, soit avant moi, soit avec moi, d'autant plus que Mons. Herman prend à tache, comme de raison, d'exalter en toute occasion la gloire de son premier maitre; Or lisez, s'il vous plait, ce qu'il ecrit dans sa Phoron. p. 265. Vous y trouverez ces paroles: "Bernoulli invenerunt velum ab allabente vento in eam ipsam curvam flecti debere, quam Joh. Bernoullius et Leibnitius et Hugenius funi laxa atque flexili, vel catenulae ab ambobus sui terminis pendenti convenire docuerunt etc." Si mon frere avoit eu part à la solution de cette courbe, Mr. Herman auroit parlé en pluriel, quam ambo Bernoullii et Leibnitius et Hugenius etc. comme il fait en parlant de nos solutions de la voiliere; Une autre preuve, qui ne souffre pas de replique, c'est, qu'etant autrefois en dispute avec mon frere, au sujet du probleme des Isoperimetres, laquelle duroit assez long tems, avec beaucoup de chaleur de part et d'autre, sur ce qu'il m'avoit reproché d'avoir appris de lui les premiers commencements de la Geometrie, je lui retorquai ce reproche en le faisant souvenir, qu'il m'etoit redevable d'autres choses de plus grande importance, entre autre de la premiere theorie des chainettes; On n'a qu'à lire pour cela mon memoire inseré dans le Journal des sçavants de Paris du 8. Decembr. 1698. On y trouvera ces termes "Je prie seulement mon frere, de se resouvenir, à qui il est redevable de la premiere Theorie des chainettes, de laquelle il se sert presentement en maitre dans toute sa lettre; Les gens qui le sçavent, sçauront qu'en penser; Ces sortes de reproches sentent trop la vanité etc." Je lui ai dit cela, comme vous voyez, à sa barbe, cependant il a avallé la pillule, sans y toucher dans sa replique, marque evidente, que sa conscience ne lui permettoit pas de contredire ou de nier ce fait. Enfin cette Theorie, dont je parle ici, est la meme, que celle que j'ai communiqué aprés dans mes leçons à Mr. de l'Hopital, ce que j'ai encore affirmé publiquement du vivant de Mr. de l'Hop. ce qui vous servira encore de preuve, que ce n'est pas aprés sa mort seulement, mais aussi durant sa vie, quand j'en ai eu l'occasion, de reclamer mon droit sur ce que je lui avois communiqué; Je l'ai fait dans une lettre imprimée dans l'Histoire des ouvrages des sçavans, que l'on imprimoit à Roterdam au mois de Juin 1697, p. 460 où, donnant mon sentiment sur les solutions qui avoient parû peu auparavant dans les Actes de Leipsic du probleme de la plus vite descente, et parlant de celle de Mr. le M. de l'Hopital je dis, "qu'il m'a fait sçavoir que sa methode est fondée sur mes principes que je lui avois communiqués autrefois pour la recherche generale des funiculaires, ou des courbes des chainettes, lors qu'on considere les cordes ou les chaines d'une pesanteur non uniforme etc.". Je me suis etendu un peu plus sur cet article, parceque vous vous plaignez, que comme Historien vous n'etes pas assez instruit par ma derniere lettre; je suis tout à fait de votre sentiment, que pour ecrire une histoire, il faut des monuments certains, mais les preuves authentiques que je viens de vous donner, ne sont ce pas des monumens certains? De grace que pourriez vous demander de plus fort ou de plus demonstratif? Oseriez vous bien dire, que ce sont de simples ouïr dire ou des ouïr dire d'ouïr dire? Plût à Dieu que toutes les histoires que nous avons, fussent baties sur des fondemens aussi solides que ceux que je vous ai mis devant les yeux dans cette lettre et dans ma derniere. Un Historien neutre et impartial, comme vous etes, n'est pas obligé de produire toujours des monumens publics, quand il n'en peut pas avoir, il suffit, qu'il atteste, qu'il est assuré de la verité du fait, soit par ses propres connoissances, soit par des documens particuliers qu'on lui a fait voir, et que le public n'a pas vû; Un tel historien doit etre crû sur sa bonne foi. Mess. les Anglois, qui dans la cause de la primauté pretendue sont juges, parties et temoins, ont fait l'histoire de la naissance du calcul des fluxions, et pour l'appuyer de preuves ils ont produit de leurs Archives de certaines lettres, que le public n'a jamais vû, incertain par consequent, si elles ne sont pas supposées ou falsifiées, cependant ils pretendent qu'on les en croye; Combien plus donc avez vous raison d'esperer une croyance generale, vous qui n'avez ni interest, ni passion pour l'un plûtôt que pour l'autre? Je passe outre pour repondre aux articles qui restent de votre lettre. Je suis, Monsieur, de votre opinion, que trois personne ont travaillé à forger le mémoire contre moi publié dans le Journal Litteraire, sçavoir Mr. Newton comme directeur, qui a fourni les matieres et les argumens, Mr. Keil comme secretaire, qui en a conceu et composé le memoire farci de tant de fades sailles, et Mr. de Moivre comme traducteur, qui l'a traduit en françois. Il faut bien que cette piece, qui a passé par les mains de trois habiles forgerons soit impenetrable et à l'epreuve des coups, comme le bouclier d'Achille fabriqué par Vulcain et ses Cyclopes.

J'ai cité les pages 511 et 544, l'un pour le passage de Mr. Frenicle l'autre pour faire voir, que du tems de Mr. Fermat, Mess. les Anglois etoient deja accoutumés à mepriser tout ce qu'ils n'entendoient pas, ou qui n'etoit pas produit dans leurs pays, et qu'ils s'estiment eux memes plus que les autres; Voici comme il s'exprime par rapport à Mr. Wallis, homme rempli de soi meme et jaloux au dernier point de la gloire de sa nation au commencement du second paragraphe de la page 844. Mons. de Fermat dit parlant de Mons. Wallis: Je suis toujours surpris de quoi il meprise constamment tout ce qu'il ne sçait pas. Et sur la fin du paragraphe suivant, où il rabat un peu la créte à Mr. Wallis, parle ainsi, Je ne veux point entreprendre que celles que je vous ai proposées sont du haut etage et dignes d'etre recherchées, c'est que ni lui (Wallis) qui s'estime tant, ne les a pas encore demontrées, ni Mons. Frenicle meme, que je mets au dessus de lui sans lui faire tort (quelle mortification pour un Anglois orgueilleux de se voir abbaissé au dessous de Mr. Frenicle) et ce dernier qui connoit merveilleusement les mysteres les plus cachés des nombres ne les a pas meprisées. Si Mr. l'Abbé Conti a vû et lû le 2.^e Memoire de Mr. Keil, il vous aura sans doute fait un detail des injures et des grossieretés que mon adversaire juré a lancé contre moi, j'aurois du plaisir à en apprendre quelques echantillons en attendant que le memoire, lui meme, paroisse, et qu'il me tombe entre les mains. Mr. Keil aura du chagrin, quand il verra que son avantage du mea formula sur lequel il aura fait grand bruit, lui est rendu inutile par ma declaration nouvellement publiée, par laquelle je desavoue la façon de la lettre pro Emin.

Mons. Iselin a receu votre lettre, vous aurez aussi depuis receu sa reponse et son ecrit sur la nouveauté du monde, qu'il me dit vous avoir envoyé. Lorsque mon fils arriva ici de France, mon neveu etoit deja reparti pour Padouë, mais je lui donnai avis du microscope, que vous avez donné pour lui à mon fils, mon Neveu me repondit, me priant de garder ce microscope jusqu'à son retour ici. J'espere qu'il aura fait mention dans une des lettres qu'il vous aura ecrites. Je ne sçaurois vous rien dire au sujet du denombrement des lignes du troisieme ordre que mon frere doit avoir fait dans un ouvrage pareil à celui de Mr. Newton, j'ai bien ouï dire, qu'il avoit tenté quelque chose de semblable, mais s'il l'a parachevé, c'est ce que je ne sçais pas, car je n'ai jamais rien vû de ses papiers et des manuscripts laissés apres sa mort; Je crois que se voyant mourir, il a pris les precautions en ordonnant que rien de ses ecrits ne me seroit communiqué, quand il seroit mort; Mais Mr. Herman vous en pourra dire des nouvelles, car d'abord apres la mort de mon frere, Mr. Herman eut autant de fois qu'il vouloit un libre acces dans sa bibliotheque, d'où il prit des ecrits du defunt, tout ce qui l'accomodoit, en sorte que pas un billet des papiers de mon frere a pû echapper des mains de Mr. Herman, et qu'il ne tenoit qu'à lui de le copier ou de le garder selon qu'il le trouvoit à propos: Il est vrai que du depuis le fils du defunt a donné à mon Neveu de Padouë une bonne partie des manuscripts de feu son Pere, mais il ne m'a pas dit que l'Enumeratio linearum tertii ordinis s'y trouve, vous pouvez en demander des nouvelles de lui meme. Je suis rempli de joie de ce que ma nouvelle methode des Isoperimetres vous a tant plû jusqu'à vous charmer et enchanter comme vous dites; Car comme vous êtes si grand Connoisseur pour les bonnes pieces en mathematique, je m'imagine que je dois avoir fait quelque chose de bon, puisqu'il a merité votre approbation accompagnée d'un applaudissement si singulier et si glorieux pour moi.

Il y a quelque tems que mon Neveu m'adressa une lettre pour Vous, que je vous envoyai incontinent aprés accompagnée d'une lettre de mon fils, j'espere que vous les aurez receuës; À ce que j'apprens, dans celle de mon Neveu etoit contenue une solution du probleme des trajectoires, que mon Neveu trouva aprés que je lui eusse indiqué que le veritable fondement, dont on peut tirer la solution de l'exemple fourni par moi à Mr. Leibnits et proposé ensuite par Lui à Mess. les Anglois, consiste dans la consideration de la similitude des courbes proposées, car cette consideration bien employée fournit une solution aisée et generale, non seulement pour l'exemple en question, mais en meme tems, pour tous les exemples des courbes semblables; Ainsi celui que mon fils dans son memoire propose à Mr. Herman, contenant aussi des courbes semblables, sera ipse facto resolu par la solution generale fondée sur la similitude des courbes, au lieu que de la maniere, dont se sont pris Mess. Herman et Taylor en voulant tirer la solution de l'equation particuliere qui exprime la nature des courbes proposées, on se plongeroit dans un abyme de calcul, dont on ne sortiroit jamais; C'est pourquoi pour cacher cet artifice, j'ai fait proposer cet exemple par mon fils, sans faire mention de la similitude, l'equation des courbes proposées à coupes à angles droits $dx={\frac {a^{m}+fa^{m-1}y+ga^{m-2}yy\,{\textrm {...}}+hy^{m}}{\sqrt {na^{2m}+pa^{2m-1}y+qa^{2m-2}yy\,{\textrm {...}}+ry^{2m}}}}dy$ n'y est exprimée, que pour faire donner dans le panneau, afin que ces Mess. les soluteurs s'accrochant à cette equation comme ils ont fait à celle des courbes de l'exemple proposé par Mons. Leibnits, ils n'en puissent plus se debarasser, et soient ainsi convaincu de l'imperfection de leur methode. J'ai lieu de m'etonner que Mr. Taylor s'appercevant que les courbes de l'exemple de Leibnits sont semblables, n'y ait pas fait reflexion, mais qu'il soit passé par dessus si legerement, car je suis assuré que s'il y eut pensé tant soit peu, il auroit infailliblement decouvert le mystere, et qu'il ne seroit pas allé chercher de loin et par des detours se fourant dans un calcul long et epineux, ce qu'il avoit devant ses pieds, et qu'il auroit pourtant mené infiniment plus loin que ce qu'il cherchoit; Je dis la même chose de Mr. Herman qui s'est tant tourmenté pour une chose qui est si facile s'il s'etoit mis à contempler la proprieté de la similitude des courbes; Puis donc que mon Neveu a commencé d'ouvrir le pot aux roses, je veux bien achever de vous montrer tout le secret, car non obstant que je lui aye dit, qu'il falloit s'en tenir uniquement à la consideration de la similitude, la solution qu'il en deduisit et qu'il vous communiqua dernierement n'est pas encore la plus simple, parceque par elle il ne parvient pas immediatement à une equation où les indeterminées soient separées, mais où pour venir à bout d'une telle separation, il a besoin d'une nouvelle substitution: Au lieu que ma solution est tres simple et donne une equation qui ne consiste qu'en deux termes avec les indeterminées separées sans aucune substitution preallable: La voici, vous en jugerez. Soit $LBM$ (Je tracerai la figure à la page suivante) la trajectoire cherchée, qui coupe à angles droits toutes les courbes semblables $ABb$, $CDd$ etc., decrites du Pole commun $H$. Je prens une de ces courbes comme $CDd$ pour invariable, que j'appelle la Principale. Ayant mené du Pole $H$ deux lignes droites $HDB$, $Hdb$, qui fassent un angle $BHb$ infiniment petit et les deux petits arcs $BF$, $DG$; soit $HD=x$, $HB=y$ et partant $Gd=dx$, $FN=-dy$ (j'ecris$-dy$ parceque l'ordonnée $HD$ de la principale augmentant, l'ordonnée $HB$ de la trajectoire $LBM$ diminuë). Or à cause que la courbe $CDd$ est donnée la petite ligne $DG$ sera donnée en $x$ et $dx$. Soit donc $DG=Xdx$ (j'entens par $X$ une quantité quelconque donnée en $x$ et constantes, ou à ma façon de parler une fonction quelconque d'$x$.) à cause de la similitude des courbes $CDd$, $ABb$ les triangles $DGd$, $BFb$ sont semblables, ainsi on aura $DG\,{\textrm {(}}Xdx{\textrm {)}}.Gd\,{\textrm {(}}dx{\textrm {)}}::BF\,{\textrm {(}}{\frac {yXdx}{x}}{\textrm {)}}.bF$ et partant $bF={\frac {ydx}{x}}$ ce que j'aurois pû voir immediatement de ce que $HD\,{\textrm {(}}x{\textrm {)}}.HB\,{\textrm {(}}y{\textrm {)}}::DG.BF::Gd\,{\textrm {(}}dx{\textrm {)}}.Fb$, donc $Fb={\frac {ydx}{x}}$ mais par la condition du probleme l'angle $NBb$ est droit, par consequent $BF^{2}\,{\textrm {(}}{\frac {yyXXdx^{2}}{xx}}{\textrm {)}}=bF\times FN\,{\textrm {(}}{\frac {ydxdy}{x}}{\textrm {)}}$; apres la reduction on trouve cette equation toute separée ${\frac {XXdx}{x}}={\frac {-dy}{y}}$ qui exprime generalement la nature de la trajectoire $LBM$ pour toutes les courbes semblables de quelque genre qu'elles soient algebriques ou transcendentales. Vous voyez aussi, Monsieur, qu'elle se construit aisement par la quadrature de l'hyperbole ou par les logarithmes et par la quadrature d'une ligne courbe, dont l'abscisse etant $x$, l'ordonnée est ${\frac {XX}{x}}$. En effet ma seconde construction du probleme proposé par Mr. Leibniz laquelle mon fils a inserée dans son memoire est tirée de notre equation ${\frac {XXdx}{x}}={\frac {-dy}{y}}$ comme Vous le verrez bien, si vous voulez prendre la peine de l'examiner et puisque cette construction là est generale pour tous les genres de courbes semblables et non pas seulement pour celles de l'exemple en question, cela a fait dire à mon fils: Placet adjungere aliam constructionem, quae non tantum idem praestat in hoc exemplo, sed et ad alia infinita eodem successu accommodari potest, sans ajouter pourtant le mot de semblables, c'est à dire ad alia infinita exempla curvarum similium, de peur que cela ne donnat occasion d'entrer facilement dans le mystere, qui est peu de chose (comme vous voyez) quand on le sçait, je crois meme qu'il n'est pas encore tems de le decouvrir à personne, vous le menagerez donc, s'il vous plait, pour voir combien de tems les Anglois et Mr. Herman y croupiront encore, et particulierement comment ils se prendront pour resoudre le dernier exemple proposé par mon fils à Mr. Herman, que vous voyez etre egalement resolu avec les autres par mon equation ${\frac {XXdx}{x}}={\frac {-dy}{y}}$. Il est clair, pour le dire en passant, que si les courbes proposées sont des logarithmiques spirales semblables autour du Pole $H$ leur trajectoire $LBM$ sera aussi une Logarithmique spirale, parceque l'angle $HBM$ complement de l'angle invariable est aussi invariable; ainsi le nombre des manieres par lesquelles la Spira mirabilis de mon Frere est engendrée d'elle meme, est augmentée par cette proprieté où nous voyons que les trajectoires de ces spirales sont aussi des spirales de la meme nature, quoique non semblables aux premieres si non dans le cas où l'angle $HBA$ est un demidroit, car alors l'angle $HBM$ est egal à l'angle $HBA$; remarqués qu'au lieu de nommer $HD$, $x$; et $HB$, $y$ on pourroit sur l'axe des courbes $HO$ nommer l'abscisse de la principale $HE$, $x$; et l'abscisse de la trajectoire $HK$, $y$; car on trouveroit aussi immediatement une equation où les indeterminées seroient separées sans autre operation, par consequent on seroit en etat de construire aisement la trajectoire moyennant les quadratures; Mais l'equation qui vient de cette maniere n'est pas si simple comme la precedente. Quant au reste il faut sçavoir que cette methode peut etre appliquée à toutes sortes d'autres conditions que celle de la similitude, à sçavoir à toutes les courbes $CDd$, $ABb$, etc. soit algebriques ou transcendentales quoique non semblables, pourveû qu'au lieu de la raison constante entre $HD$ et $HB$ ou entre $Hd$ et $Hb$, il y ait une relation quelconque exprimée par une equation algebrique, ou bien que la relation entre les appliquées $BK$ et $PK$ soit exprimée par une equation algebrique, dans laquelle je suppose une espece de parametre c'est à dire une lettre qui signifie une ligne invariable dans une meme courbe $ABb$ mais variable d'une courbe à l'autre. Soit par exemple la principale $CDd$ une courbe donnée quelconque transcendente ou algebrique et que la relation entre $HD$ et $HB$ soit exprimée par cette equation $R\times DB=HB\times HD$, j'entens par $R$ le parametre, qui etant changé, change la courbe $ABb$ et qui dans la meme courbe $ABb$ demeure invariable desorte que comme $R\times DB=HB\times HD$ ainsi aussi partout ailleurs $R\times db=Hb\times Hd$; je dis que la trajectoire $LBM$ pour toutes les courbes $ABb$ gardant les memes lettres que cidessus se determinera par cette equation $XXdx=-dy$ laquelle se construit aussi fort aisement par les quadratures.

Voilà Monsieur une lettre furieusement longue, qui en vaut bien six autres pour la longueur; vous en serez, je crois, aussi rassasié pour six mois et peut etre pour plus longtemps, si le degoût vous en prend. Je ferois grace à votre patience en finissant ici, comme je me le proposois, si une lettre que je reçois tout fraichement de mon Neveu ne me fournissoit pas nouvelle matiere pour vous fatiguer encore un peu. Mons. Varignon Vous aura fait tenir un des deux Exemplaires que je lui avois envoyé du traité de Mr. Poleni De motu aquae mixto. Mon Neveu me mande presentement, que je recevrai de la part de Mr. Poleni un paquet de 3 exemplaires d'un autre traité qu'il a fait De Castellis, dont deux sont derechef destinés pour Vous et Mr. Varignon et le troisieme à moi, j'aurai soin de vous envoyer le votre et celui de Mr. Varignon par la premiere occasion que je trouverai, quand je les aurai receu avec quelques autres livres (sans en sçavoir les titres) que mon Neveu me dit se trouver pour vous dans le meme paquet. Mon Neveu m'a chargé de traduire en françois le compliment que Mr. Poleni l'a prié de vous faire de sa part, comme aussi à Mr. Varignon, en vous envoyant ces deux livres, je m'en aquite donc, voici le compliment, traduit de l'Italien mot à mot: Puisque la famille Bernoullienne a la bonté de me procurer encore une occasion d'envoyer mes livres, vous me ferez la grace de faire specifier à ces deux Messieurs (sçavoir à Vous et à Mr. Varignon) en bonne phrase françoise que je leur envoye ces livres comme un temoignage de mon veritable respect. Comme je suis mauvais connoisseur des bonnes phrases, j'ai crû ne pouvoir mieux m'aquitter de ma commission qu'en traduisant les frases memes de Mr. Poleni qui me paroissent tres emphatiques à la maniere des Italiens et des Espagnols. Mon Neveu dit qu'il vous a ecrit touchant le microscope il y a deja quelques mois, mais qu'il ne sçait pas si vous avez receu sa lettre: qu'il a conclu de votre derniere, que vous devez lui avoir ecrit une lettre, qu'il n'a jamais receu, dans laquelle vous avez voulu lui faire part de quelques unes de vos decouvertes et d'autres choses: Que vous Vous plaignez aussi à lui de la Volerie commisse contre Vous et lui par Mr. Moivre: Que Vous ne lui avez rien ecrit touchant la querelle avec les Anglois, mais qu'un certain Mr. Sterling lui avoit preté l'Histoire des fluxions par Mr. Raphson, où se trouvoit la reponse que Mr. Newton fit aux deux lettres que Mr. Leibniz ecrivit à Mr. Conti. Il croit que vous m'aurez fait part de tout ce qu'il y a dans ce livre ou du moins dans ces lettres, puisqu'il y a plusieurs choses qui me regardent, c'est pourquoi il se contente de me communiquer un extrait de quelques passages traduits en Allemand, par lesqueles je vois que Mr. Newton s'est servi de quelques expressions qui ne me sont pas trop honorables. En sorte que je suis tout etonné de vous voir garder le silence et ne m'en pas avertir d'un seul mot. C'est la premiere fois que Mr. Newton me cite publiquement, mais d'une maniere, qui ne convient gueres avec celle dont il a usé dans ses discours et dans quelques unes de ses lettres particulieres, où il a dit mille honetetés de moi, en n'attribuant des eloges qui sont au dessus de mon merite. Je vous prens Mr. à temoin, vous m'avez fait, vous meme, un rapport des expressions et des termes dont il s'etoit servi pour vous marquer l'estime toute singuliere qu'il sembloit avoir pour moi; Mais maintenant dans ses reponses à Mr. Leibnits qu'on a renduës publiques, il parle de moi assez sechement, peu s'en faut, qu'il ne me traitte d'homme lache et de suppot de feu Mr. Leibnits, qu'il nomme mon maitre et moi son disciple, il dit que je suis homo novus et rerum ante actarum parum peritus, en represaille de ce que Mr. Leibnits avoit objecté à Mr. Keil; Il me range par moquerie dans l'ordre des Chevaliers errants et mille autre bassesses par lesquelles il tache de me fletrir; Comment accorder tout cela avec les marques d'estime qu'il me faisoit sentir en plusieurs occasions et encore en dernier lieu, par le present de sa derniere edition de son Optique, que Mr. Varignon me mande que Mr. Newton lui a envoyé pour me le faire tenir. Mais encore un coup comment accorder ces deux manieres d'agir si opposées avec le grand âge et avec la gravité et la candeur tant preconisée de Mr. Newton, sont cela des marques de sa droiture? Comment enfin maintiendra-t-il son epithete Vir moribus antiquis? Ou faut il, peut etre, entendre avoir le coeur double par avoir des moeurs antiques. Je ne sçaurois deviner la cause qui peut avoir irrité Mr. Newton contre moi, si ce n'est qu'il s'imagine sans aucun fondement que je suis l'Autheur d'une certaine lettre du 7 Juin 1713 que l'on a produit contre lui dans une feuille volante, quoiqu'il avouë qu'il n'en est pas assuré et que cela ne vienne que de ce qu'il n'a pas bien entendu de quelle Lettre Mr. Leibnits avoit parlé. Mon neveu ajoute que Mr. Raphson cite du livre de Mr. Chaines la suite generale que j'ai donné autrefois dans les Actes de Leipsic pour la valeur de $\int ydz$, mais qu'il semble, qu'il n'en parle pas fort avantageusement, scilicet pro genio et more Anglorum qui est, comme vous dites tres bien, de mepriser les autres hommes, et de les haïr quand ils ne peuvent les mepriser. J'aurois encore bien des choses à vous dire, mais l'espace me manque, et je ne veux pas commencer une nouvelle feuille, à peine m'en reste-t-il autant qu'il faut pour vous assurer Monsieur, que personne ne vous est plus devoué que Votre tres humble et tres obeïssant serviteur J. Bernoulli.

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Fussnoten

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